https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Rikei

2025.07.10記

[2] 実数 $a$ は $0\lt a\leqq 2$ の範囲を動くものとする．

(1) $y=\sqrt{x}$ と $y=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$ のグラフが共有点をもつような $a$ の範囲を求めよ．

2025.07.21記
(2) を代数的に解くのは難しく，(2)を幾何的に解くためのヒントとして(1)がある．そこで(1)をなるべく幾何的に捉えるために $y=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$ は定点を通ることに着目する．

この際， $y=x^2$ の下側の点 $(a，b)$ から $y=x^2$ に引いた接線の接点の $x$ 座標が $a\pm\sqrt{a^2-b}$ であり，その接点の傾きが接点の $x$ 座標の2倍となることを利用する．

[解答]
直線 $y=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$ は定点 $\mbox{A}\left(\dfrac{1}{2}，1\right)$ を通る．

定点 $\mbox{A}\left(\dfrac{1}{2}，1\right)$ を通る直線と $y=\sqrt{x}$ が接するとき，接点の $y$ 座標は $1\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$ であるから，接点の $x$ 座標は $\left(\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3\pm 2\sqrt{2}}{2}$ となり，そのときの接線の傾きについて $\dfrac{a}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{2}}{2}$ ，つまり $a=4\pm2\sqrt{2}$ となる（ここまで複号同順）．

よって幾何的に考えて求める $a$ の範囲は $0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$ となる．

(2) 実数係数の2次方程式 $(2x+a-1)^2=a^2x$ …(★) が2つの実数解（重解を含む）をもつとき，左辺が非負であることから $x\geqq 0$ であり， $a\gt 0$ に注意すると
$\sqrt{x}=\pm\left(\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}\right)$ ，
すなわち
$\pm\sqrt{x}=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$
であるから， $\alpha，\beta$ は $y^2=x$ と $y=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$ の交点の $x$ 座標となり，
$|\alpha|=\alpha，|\beta|=\beta$ であることから，幾何的に考えると，その大きい値の最小値は重解をもつときで
$\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

(ii) (★)が2つの互いに共役な虚数解を持つとき， $|\alpha|=|\beta|$ であり，解と係数の関係から $|\beta|^2=\dfrac{(a-1)^2}{4}$ となるので
$|\beta|=\dfrac{|a-1|}{2}$
となるが，虚数解を持つ $(1\lt)4-2\sqrt{2}\lt a\leqq 2$ の範囲で単調増加であるから
$|\beta|\gt \dfrac{|4-2\sqrt{2}-1|}{2}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

以上から $|\beta|$ の最小値は $\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

(1)は代数的に考えると次のようになる．ここで $\sqrt{x}=X$ とおくと多項式の話に帰着できることを利用する．ここでは $y=\sqrt{x}$ であるから $yx$ 平面で考えることによって多項式に帰着（放物線の一部と直線の交点の話に帰着）させた．

[解答]
(1) 放物線 $x=y^2$ （ $y\gt 0$ ）と直線 $x=\dfrac{a(y-1)+1}{2}$ が交点を持つ範囲を求めれば良く，
$2y^2-ay+a-1=0$ が $y\geqq 0$ の範囲にを持てば良い．

つまり $a^2-4\cdot 2(a-1)=(a-4)^2-8\geqq 0$ かつ $\dfrac{a+\sqrt{(a-4)^2-8}}{4}\geqq 0$ が成立すれば良い．

前者より $0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$ となり，後者は $a\gt 0$ より前者が成立すれば成立するので求める $a$ の範囲は
$0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$
となる．

(2) 2次方程式 $4x^2-(a-2)^2x+(a-1)^2=0$ の2解が $\alpha，\beta$ である．

(i) $0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$ のとき：
$\alpha，\beta$ は実数であり，解と係数の関係により和と積がともに非負であることから $\alpha，\beta$ はともに非負となり，絶対値の大きい解は
$\beta=\dfrac{(a-2)^2+a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}$
となる．この範囲で $\dfrac{a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}\geqq 0$ （判別式が非負に対応）であり， $(a-2)^2$ は単調減少であるから
$\beta=\dfrac{(a-2)^2+a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}$ $\geqq \dfrac{(a-2)^2}{8}$ $\geqq \dfrac{\{(4-2\sqrt{2})-2\}^2}{8}=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

(ii) $4-2\sqrt{2}\lt a\leqq 2$ のとき：
$\alpha，\beta$ は虚数であり，解と係数の関係により
$|\beta|^2=\dfrac{(a-1)^2}{4}$ となるので
$|\beta|=\dfrac{|a-1|}{2}$
となるが，虚数解を持つ $(1\lt)4-2\sqrt{2}\lt a\leqq 2$ の範囲で単調増加であるから
$|\beta|\gt \dfrac{|4-2\sqrt{2}-1|}{2}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

以上から $|\beta|$ の最小値は $\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

何も考えずに $\beta$ を $a$ で微分してもうまく行かないだろうと思ったら，本問の場合はうまくいった．

(2) 2次方程式 $4x^2-(a-2)^2x+(a-1)^2=0$ の2解が $\alpha，\beta$ である．

(i) $0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$ のとき：
$\alpha，\beta$ は実数であり，解と係数の関係により和と積がともに非負であることから $\alpha，\beta$ はともに非負となり，絶対値の大きい解は
$\beta(a)=\dfrac{(a-2)^2+a\sqrt{a^2-8a+8}}{8}$
となる．

$\beta'(a)=\dfrac{1}{4}\left(a-2+\dfrac{a^2-6a+4}{\sqrt{a^2-8a+8}}\right)$
であり， $\beta'(a)=0$ を整理して得られる1次方程式
$(a-2)^2(a^2-8a+8)-(a^2-6a+4)^2=-16(a-1)=0$
の解 $a=1$ は
$\beta'(1)=\dfrac{1}{4}\left(-1-1\right)\lt 0$
となる（二乗して同値性が崩れて得られた解となる）ので， $\dfrac{d\beta}{da}=0$ を満たす実数 $a$ は存在せず， $0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2}$ において $\beta'(1)\lt 0$ から $\beta(a)$ は単調減少となる．

よって $\beta(a)\geqq \beta(4-2\sqrt{2})=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

以上から $|\beta|$ の最小値は $\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

一般にパラメータ $a$ を含む実数係数の2次方程式
$\{x-f(a)\}^2=g(a)$ （ $f(a)，g(a)$ は区間 $I$ で連続）
の複素数の範囲で考えた2つの解を $\alpha$ ， $\beta$ (だたし $|\alpha|\leqq|\beta|$ )とする．このとき， $I$ の $g(a)\geqq 0$ の範囲で $x=f(a)+\sqrt{g(a)}$ ， $x=f(a)-\sqrt{g(a)}$ はそれぞれ連続であるから $|\beta|$ も $I$ の $g(a)\geqq 0$ の範囲で連続となる．また $g(a)\leqq 0$ の範囲で $|\beta|=\sqrt{\{f(a)\}^2+\{-g(a)\}}$ も連続であり，
$g(a)=0$ のとき $|\beta|=|f(a)|$ と両者が一致することから， $|\beta|$ は区間 $I$ で連続である．

一般には
$|\beta|=\left\{ \begin{array}{ll} \max\{ |f(a)+\sqrt{g(a)}|，|f(a)-\sqrt{g(a)}|\} & (g(a)\geqq 0)\\ \sqrt{\{f(a)\}^2+\{-g(a)\}} & (g(a)\leqq 0) \end{array}\right.$
であるが，本問では $f(a)\geqq 0$ とすることにより
$|\beta|=\left\{ \begin{array}{ll} f(a)+\sqrt{g(a)} & (g(a)\geqq 0)\\ \sqrt{\{f(a)\}^2+\{-g(a)\}} & (g(a)\leqq 0) \end{array}\right.$
としている．この場合
$|\beta|\geqq f(a)$ （等号成立は $g(a)=0$ ）
が成立し，本問の場合 $g(a)=0$ となるときにうまく最小となるように関数をうまく設定している
( $f(a)$ は下に凸で $g(a)\lt 0$ を満たす $a$ で最小値をとり， $\sqrt{\{f(a)\}^2+\{-g(a)\}}$ が（ $g(a)\leqq 0$ なる $a$ の範囲において）単調増加となるように設定している．

ここで $h(a)=\sqrt{\{f(a)\}^2+\{-g(a)\}}$ とおくと $g(a)=\{f(a)\}^2-\{h(a)\}^2$ であるから $h(a)$ を傾きが正の1次関数とし， $f(a)$ を下に凸な2次関数とし， $b=f(a)$ の頂点が $b=h(a)$ の下側にあるように設定すると本問の設定が得られる．

ここで平方完成ではなく $x^2+bx+c=(x-\sqrt{c})^2+(b+2\sqrt{c})x$ のように変形すれば本問の数値を変えた問題を作ることができる．

とは言え，良い $a$ の関数を探すのは大変だと思うが．

このことを踏まえると次のように整理される：

[解答]
(2) 2次方程式 $x^2-\dfrac{(a-2)^2}{4}x+\dfrac{(a-1)^2}{4}=0$ ，すなわち $\left\{x-\dfrac{(a-2)^2}{8}\right\}^2=\dfrac{a^2(a^2-8a+8)}{64}$ の2解が $\alpha，\beta$ であるから
$|\beta|=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{(a-2)^2+a\sqrt{a^2-8a+8}}{8} & (0\lt a\leqq 4-2\sqrt{2})\\ \sqrt{\left\{\dfrac{(a-2)^2}{8}\right\}^2-\dfrac{a^2(a^2-8a+8)}{64}}=\dfrac{a-1}{2} & (4-2\sqrt{2}\lt a \leqq 2) \end{array}\right.$
が成立する． $f(a)=\dfrac{(a-2)^2}{8}$ ， $h(a)=\dfrac{a-1}{2}$ とおき， $M(a)=\max\{f(a)，h(a)\}$ とおくと $b=f(a)$ は下に凸な放物線で， $b=h(a)$ は $b=f(a)$ と2点で交わる直線であるから $M(a)$ は下に凸であり， $b=h(a)$ の傾きが正であること，および $b=f(a)$ の頂点 $(2，0)$ が $b=h(a)$ の下にあることから $M(a)$ は $b=h(a)$ と $b=f(a)$ の2交点のうち $a$ 座標が小さい方，つまり $a=4-2\sqrt{2}$ で最小値をとる．

今， $|\beta|\geqq M(a)$ $\geqq M(4-2\sqrt{2})=h(4-2\sqrt{2})=\dfrac{4-2\sqrt{2}-1}{2}$ $=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$
であり，2つの不等号は共に $a=4-2\sqrt{2}$ で成立するので， $|\beta|$ の最小値は $\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$ となる．

このように解くと(1)の意味がなくなり，結局(1)を誘導として使うためには幾何的に解かなければならないことになる．