https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Rikei

2025.07.10記

[1] 円に内接する四角形 $\mbox{ABPC}$ は次の条件(イ)，(ロ)を満たすとする．

(イ) 三角形 $\mbox{ABC}$ は正三角形である．

(ロ) $\mbox{AP}$ と $\mbox{BC}$ の交点は線分 $\mbox{BC}$ を $p:1-p$ （ $0\lt p\lt 1$ ）の比に内分する．

このときベクトル $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{AC}}$ ， $p$ を用いて表せ．

本問のテーマ

反転

2025.07.20記

[大人の解答]
点 $\mbox{A}$ を中心とする半径 $1$ の円に関する反転を考えると直線 $\mbox{BC}$ は円 $\mbox{ABC}$ に移り，よって点 $\mbox{Q}$ は点 $\mbox{P}$ に移る．よって $\mbox{AP}=\dfrac{1}{\mbox{AQ}}$ となる．

余弦定理により $\mbox{AQ}=\sqrt{1+p^2-2p\cos\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{p^2-p+1}$ となるので $\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{AQ}}$ $=\dfrac{1}{\mbox{AQ}^2}$ $=\dfrac{1}{p^2-p+1}$ が成立し，よって
$\overrightarrow{\mbox{AP}}=\dfrac{1}{p^2-p+1}\overrightarrow{\mbox{AQ}}=\dfrac{(1-p)\overrightarrow{\mbox{AB}}+p\overrightarrow{\mbox{AC}}}{p^2-p+1}$
となる．

この反転の部分の議論は方羃の定理を用いても示すことができる．

[解答]
余弦定理により $\mbox{AQ}=\sqrt{1+p^2-2p\cos\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{p^2-p+1}$ となり，方羃の定理により $\mbox{AQ}\cdot\mbox{QP}=\mbox{BQ}\cdot\mbox{QC}=p(1-p)$ となるので $\mbox{QP}=\dfrac{p(1-p)}{\sqrt{p^2-p+1}}$ となる．

よって $\dfrac{\mbox{AP}}{\mbox{AQ}}$ $=1+\dfrac{\mbox{QP}}{\mbox{AQ}}$ $=1+\dfrac{p(1-p)}{p^2-p+1}$ $=\dfrac{1}{p^2-p+1}$ が成立し，よって
$\overrightarrow{\mbox{AP}}=\dfrac{1}{p^2-p+1}\overrightarrow{\mbox{AQ}}=\dfrac{(1-p)\overrightarrow{\mbox{AB}}+p\overrightarrow{\mbox{AC}}}{p^2-p+1}$
となる．