2000年(平成12年)京都大学前期-数学(理系)

[1] 円に内接する四角形 は次の条件(イ)，(ロ)を満たすとする．

(イ) 三角形 は正三角形である．

(ロ) と の交点は線分 を （ ）の比に内分する．

このときベクトル を ， ， を用いて表せ．

[2] 実数 は の範囲を動くものとする．

(1) と のグラフが共有点をもつような の範囲を求めよ．

(2) 2次方程式 の複素数の範囲で考えた2つの解を ， (だたし )とする．このとき， の最小値を求めよ．

[3] ， とする．

(1) 長さ1の空間ベクトル に対し， ， とおく．このとき次の不等式 が成り立つことを示せ．

(2) 不等式 を満たす （ ）の範囲を図示せよ．

[4] を素数， ， を互いに素な正の整数とするとき， は実数ではないことを示せ．ただし は虚数単位を表す．

[5] 数列 を次の式で定める．
（ ）

このとき

(1) と の関係を求めよ．

(2) を求めよ．

(3) (2)で求めた極限値を とするとき， を求めよ．

[6] ， は整数で， ， とする．サイコロを 回投げて出た目の和を5で割ったときの余りが に等しくなる確率を とする．

(1) を を用いて表せ．

(2) の最大値を ，最小値を とするとき次の(イ)，(ロ)が成立することを示せ．

(イ) ．

(ロ) 任意の ， に対し ．

(3) を求めよ．