https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[6] 関数 $f(x)$ を $\displaystyle f(x)=\int_0^x\dfrac{1}{1+t^2}dt$ で定める．

(1) $y=f(x)$ の $x=1$ における法線の方程式を求めよ．

(2) (1)で求めた法線と $x$ 軸および $y=f(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

2025.07.23記

[大人の解答]
$f(x)=\mbox{Arctan}\, x$ であるから $x=\tan y$ となる．

(1) $x=\tan y$ の $y=\dfrac{\pi}{4}$ における法線の方程式は
$x=-\left(\cos^2\dfrac{\pi}{4}\right)\left(y-\dfrac{\pi}{4}\right)+1=-\dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{\pi}{4}\right)+1$
だから $y=-2x+2+\dfrac{\pi}{4}$ である．

(2) $x=\tan y$ の $y=\dfrac{\pi}{4}$ における法線と $x$ 軸および $x=\tan y$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めれば良く，
$\dfrac{1}{2}\left\{1+\left(1+\dfrac{\pi}{8}\right)\right\}\cdot \dfrac{\pi}{4}-\displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan y\, dy$
$=\dfrac{\pi(\pi+16)}{64}-\Bigl[\log(\cos y)\Bigr]_0^{\pi/4}$
$=\dfrac{\pi(\pi+16)}{64}-\dfrac{1}{2}\log 2$
となる．

[解答]
(1) $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ であるから $f'(1)=\dfrac{1}{2}$ である．また $f(1)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+t^2}dt=\dfrac{\pi}{4}$ である．よって求める法線の方程式は $y=-2(x-1)+\dfrac{\pi}{4}$ である．

(2) 求める面積は
$\dfrac{\pi^2}{64}+\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$
$=\dfrac{\pi^2}{64}+ \Bigl[ xf(x)\Bigr]_0^1-\displaystyle\int_0^1 xf'(x)\,dx$
$=\dfrac{\pi^2}{64}+ f(1) -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{1+x^2}\,dx$
$=\dfrac{\pi^2}{64}+ \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2}\Bigl[ \log(1+x^2)\Bigr]_0^1$
$=\dfrac{\pi^2}{64}+ \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{1}{2} \log 2$
となる．