https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[5] $0$ と異なる複素数 $\alpha$ に対して数列 $\{a_n\}$ を $a_n=\alpha^n+\alpha^{-n}$ で定める．すべての自然数 $n$ について $|a_n|\lt 2$ が成立しているとする．このとき

(1) $|\alpha|=1$ が成立することを示せ．

(2) $|a_m|\gt 1$ となる自然数 $m$ が存在することを示せ．

2025.07.23記

[解答]
(1) $\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $r\gt 0$ ）とおくと，三角不等式により
$|a_n|\geqq |\, |\alpha^n| - |\alpha^{-n}| \, |$ $=\left| r^n-\left(\dfrac{1}{r}\right)^n\right|$
が成立し， $r\neq 1$ のとき左辺は $n\to\infty$ で $+\infty$ となるので条件に反する．

よって $|\alpha|=1$ が必要である．このとき $a_n=2\cos n\theta$ となるので十分でもある．

(2) $\cos(-\theta)=\cos\theta$ より， $0\leqq\theta\leqq\pi$ の場合についてのみ考えれば良い．

(i) $0\leqq\theta\lt\dfrac{\pi}{3}$ のとき： $|\cos\theta|\gt\dfrac{1}{2}$ 故 $|a_1|\gt 1$ ，

(ii) $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき： $\cos3\theta=-1$ 故 $|a_3|=2$ ，

(iii) $\dfrac{\pi}{3}\lt\theta\lt\dfrac{2\pi}{3}$ のとき： $\dfrac{2\pi}{3}\lt2\theta\lt\dfrac{4\pi}{3}$ だから $|\cos2\theta|\gt\dfrac{1}{2}$ 故 $|a_2|\gt 1$ ，

(iv) $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき： $\cos3\theta=1$ 故 $|a_3|=2$ ，

(v) $\dfrac{2\pi}{3}\lt\theta\leqq \pi$ のとき： $|\cos\theta|\gt\dfrac{1}{2}$ 故 $|a_1|\gt 1$

となる．

2025.07.25記

[別解]
(2) $a_n=2\cos n\theta$ なる $\theta$ が存在する．

(i) $\dfrac{\theta}{2\pi}$ が有理数のとき： $\dfrac{m\theta}{2\pi}$ が整数となるような $m$ が存在し，そのような $m$ に対して $\cos m\theta=1$ となり， $a_m=2\gt 1$ となる．

(ii) $\dfrac{\theta}{2\pi}$ が無理数のとき： $\dfrac{n\theta}{2\pi}$ の集合は小数部分はすべて異なる無理数の集合となる．
区間 $\left(\dfrac{i-1}{6}，\dfrac{i}{6}\right)$ （ $i=1，2，3，4，5，6$ ）を考えると，鳩の巣原理から $n=1，2，3，4，5，6，7$ のうちの2つの $n$ に対して小数部分が同じ区間に入るものが存在し，それを $n=p，q$ （ $p\lt q$ ）とすると $0\lt \dfrac{(q-p)\theta}{2\pi}\lt\dfrac{1}{6}$ が成立し， $m=q-p$ とおくと $0\lt m\theta\lt \dfrac{\pi}{3}$ が成立するので $\cos m\theta\gt \dfrac{1}{2}$ となり， $a_m\gt 1$ となる．