https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[4] 直方体 $\mbox{ABCD}$ - $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$ において，四角形 $\mbox{ABCD}$ と四角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$ は向かい合った1組の面であり， $\mbox{AA}'$ ， $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{CC}'$ ， $\mbox{DD}'$ はこの直方体の辺である．ここで $\mbox{AA}'=1$ ， $\mbox{AB}=1$ ， $\mbox{AD}=\sqrt{2}$ とする．この直方体の内部を通る線分 $\mbox{AC}'$ 上に点 $\mbox{P}$ をとり， $\mbox{P}$ を通り $\mbox{AC}'$ に垂直な平面による直方体の切り口を考える．

(1) $\mbox{P}$ が線分 $\mbox{AC}'$ の中点であるとき，切り口は点 $\mbox{B}'$ ， $\mbox{D}$ を通ることを示せ．

(2) $\mbox{AP}=x$ であるとき，切り口の面積 $S(x)$ を求めよ．

本問のテーマ

正射影の面積は $\cos$ 倍

2025.07.23記
直方体なので座標を設定する．

[解答]
$\mbox{A}(0，0，0)$ ， $\mbox{B}(1，0，0)$ ， $\mbox{C}(1，\sqrt{2}，0)$ ， $\mbox{D}(0，\sqrt{2}，0)$ ，
$\mbox{A}'(0，0，1)$ ， $\mbox{B}'(1，0，1)$ ， $\mbox{C}'(1，\sqrt{2}，1)$ ， $\mbox{D}'(0，\sqrt{2}，1)$ とする．

$\mbox{AC}'=2$ に注意し， $x=2X$ とおくと $\mbox{P}(X，\sqrt{2}X，X)$ （ $0\lt X\lt 1$ ）となる．このとき $\mbox{P}$ を通り $\mbox{AC}'$ に垂直な平面上の点を $(s，t，u)$ とすると
$(s-X)+\sqrt{2}(t-\sqrt{2}X)+(u-X)=0$ ，つまり
$s+\sqrt{2}t-u=4X=2x$

(1) $X=\dfrac{1}{2}$ （ $x=1$ ）のとき，切り口である平面上の点 $(s，t，u)$ は $s+\sqrt{2}t-u=2$ を満たすが，この式に $\mbox{B}'$ ， $\mbox{D}$ の座標を代入すると成立するので，切り口は点 $\mbox{B}'$ ， $\mbox{D}$ を通る．

(2) $\mbox{AC}'$ の中点を $\rm M$ とすると図形が $\rm M$ に関して点対称であるから， $0\lt x\leqq 1$ について考え， $1\lt x\lt 2$ の場合は $S(x)=S(2-x)$ を利用して求めれば良い．

ここで $\mbox{AC}'$ と $y$ 軸のなす角度の余弦が $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから，切り口を $xz$ 平面に正射影してできる図形の面積を $T(x)$ とすると $S(x)=\sqrt{2}T(x)$ が成立する．

また $x=\dfrac{1}{2}$ のときの切り口が $\mbox{A}'，\mbox{B}$ の両方を通ることに注意する．

(i) $0\lt x\leqq \dfrac{1}{2}$ のとき：
切り口を $xz$ 平面に正射影した図形は
$\mbox{A}(0，0，0)$ ， $(2x，0，0)$ ， $(0，0，2x)$ を頂点とする三角形であるから
$T(x)=2x^2$ となり， $S(x)=2\sqrt{2}x^2$ となる．

(ii) $\dfrac{1}{2}\lt x\leqq 1$ のとき：
切り口を $xz$ 平面に正射影した図形は
$\mbox{A}(0，0，0)$ ， $\mbox{A}’(0，0，1)$ ， $(2x-1，0，1)$ ， $(1，0，2x-1)$ ， $\mbox{B}(1，0，0)$ を頂点とする5角形であるから
$T(x)=1-\dfrac{1}{2}\{1-(2x-1)\}^2=-2x^2+4x-1$ となり，
$S(x)=\sqrt{2}(-2x^2+4x-1)$ となる．

(iii) $1\leqq x\lt \dfrac{3}{2}$ のとき：
(ii) の $S(2-x)$ だから
$S(x)=\sqrt{2}(-2(2-x)^2+4(2-x)-1)=\sqrt{2}(-2x^2+4x-1)$ となる．

(iv) $\dfrac{3}{2}\lt x\lt 2$ のとき：
(i) の $S(2-x)$ だから
$S(x)=\sqrt{2}(2-x)^2$ となる．