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2000年(平成12年)京都大学後期-数学(理系)[3]

2025.07.10記

[3] $xy$ 平面上の点で $x$ 座標、 $y$ 座標がともに整数である点を格子点という． $a$ ， $k$ は整数で $a\geqq2$ とし，直線 $L:ax+(a^2+1)y=k$ を考える．

(1) 直線 $L$ 上の格子点を1つ求めよ．

(2) $k=a(a^2+1)$ のとき， $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点は存在しないことを示せ．

(3) $k\gt a(a^2+1)$ ならば， $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点が存在することを示せ．

2025.07.22記

[解答]
(1) $a(-ak)+(a^2+1)k=k$ より $(-ak，k)$ は $L$ 上の格子点である．

(2) (1) より $a(x+ak)=(a^2+1)(k-y)$ と書ける．

$a\geqq 2$ のとき， $a^2+1$ と $a$ の最大公約数はユークリッドの互除法により $a$ と $1$ の最大公約数に等しいので， $a^2+1$ と $a$ は互いに素であるから
$x+ak=(a^2+1)N$ ， $k-y=aN$ を満たす整数 $N$ が存在し，よって $L$ 上の格子点の一般解は
$(x，y)=(-ak+N(a^2+1)，k-Na)$
と書ける．この格子点が $x\gt0，y\gt 0$ を満たすための $N$ の条件は
$\dfrac{ak}{a^2+1}\lt N\lt \dfrac{ak}{a^2}$
である．

(2) $a^2\lt N\lt a^2+1$ を満たす整数 $N$ は存在しない．

(2) $\dfrac{ak}{a^2}-\dfrac{ak}{a^2+1}=\dfrac{k}{a(a^2+1)}\gt 1$ であり，区間幅が1より大きければその区間に少なくとも1つの整数を含むので $\dfrac{ak}{a^2+1}\lt N\lt \dfrac{ak}{a^2}$ を満たす整数 $N$ が存在する．

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