https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[2] (1) $x\geqq0$ のとき，不等式 $\displaystyle e^x\geqq1+\dfrac{1}{2}x^2$ が成立することを示せ．

(2) 自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)=n^2(x-1)e^{-nx}$ の $x\geqq0$ における最大値を $M_n$ とする．このとき， $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty M_n$ を求めよ．

本問のテーマ

幾何分布の期待値（問題の背景ではなく無限級数の和の計算の工夫）

2025.07.22記

[解答]
(1) $x\geqq 0$ で $e^x\geqq 1$ であるから
$\displaystyle\int_0^x e^t\, dt\geqq \displaystyle\int_0^x dt$
より $x\geqq 0$ で $e^x-1\geqq x$ が成立する．よって
$\displaystyle\int_0^x (e^t-1)\, dt\geqq \displaystyle\int_0^x t dt$
より $x\geqq 0$ で $e^x-1-x\geqq \dfrac{1}{2}x^2$ が成立する．

以上から $e^x\geqq 1+x+\dfrac{1}{2}x^2\geqq 1+\dfrac{1}{2}x^2$ が成立する．

(2)　 $f'_n(x)=n^2e^{-nx}(n+1-nx)$ であるから増減表（略）により $f_n(x)$ は $x=\dfrac{n+1}{n}$ で最大となり，
$M_n=ne^{-(n+1)}$ となる．

$T_n(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n x^{-k}$ $=\dfrac{x^{-1}-x^{-n-1}}{1-x^{-1}}$ $=\dfrac{1-x^{-n}}{x-1}$
の両辺を $x$ で微分すると
$T'_n(x)=-\displaystyle\sum_{k=1}^n k x^{-k-1}$ $=\dfrac{nx^{-n-1}(x-1)-(1-x^{-n})}{(x-1)^2}$
となるので $x=e$ として
$\displaystyle\sum_{k=1}^n M_k$ $=\dfrac{1-e^{-n}-ne^{-n-1}(e-1)}{(e-1)^2}$ $=\dfrac{1}{(e-1)^2}-\dfrac{1}{(e-1)^2}\cdot\dfrac{1}{e^n}-\dfrac{1}{e(e-1)}\cdot\dfrac{n}{e^n}$
が成立する．

ここで $\dfrac{1}{e^n}\to 0$ （ $n\to\infty$ ）であり，(1)から
$0\leqq\dfrac{n}{e^n}\leqq\dfrac{n}{1+\dfrac{1}{2}n^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}n}$
において $\dfrac{1}{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2}n}\to 0$ （ $n\to\infty$ ）とはさみうちの原理から
$\dfrac{n}{e^n}\to 0$ （ $n\to\infty$ ）が成立するので，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n M_k=\dfrac{1}{(e-1)^2}$ となる．

成功確率が $p$ であるベルヌーイ試行を繰り返すときに初めて成功するまでの試行回数 $X$ の従う確率分布を幾何分布という．幾何分布の期待値は $\dfrac{1}{p}$ となることは感覚的に理解できるだろう
（1%の確率で輩出されるガチャは平均して100回引かないといけない，という感覚）．

幾何分布の確率質量関数は $q=1-p$ おくと $P(X=k)=pq^{k-1}$ であるから， $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kpq^{k-1}=\dfrac{1}{p}$ が成立する（ことが感覚的に理解できる）．

よって $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k+1}=\dfrac{q^2}{p^2}=\dfrac{q^2}{(1-q)^2}$ が成立し， $q=\dfrac{1}{e}$ とおくことにより $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} ke^{-(k+1)}=\dfrac{1}{(e-1)^2}$ が得られる．