https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[1] $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は互いに相異なる複素数とする．

(1) 複素数平面上で $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ の虚数部分が正となる $z$ の存在する範囲を図示せよ．

(2) 複素数 $z$ が $(z-\alpha)(z-\beta)+(z-\beta)(z-\gamma)+(z-\gamma)(z-\alpha)=0$ を満たしているとき， $z$ は $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を頂点とする三角形の内部に存在することを示せ．ただし， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は同一直線上にはないものとする．

本問のテーマ

シュタイナー(Steiner)の内接楕円

2025.07.22記

[解答]
(1) $\mbox{Z}(z)$ ， $\mbox{A}(\alpha)$ ， $\mbox{B}(\beta)$ とおく． $w=\dfrac{z-\alpha}{\beta-\alpha}$ とし，
$\mbox{W}(w)$ ， $\mbox{O}(0)$ ， $\mbox{P}(1)$ とおくと $z\mapsto w$ なる変換は $\triangle\mbox{ZAB}$ が $\triangle\mbox{WOP}$ に移るような回転拡大と平行移動の合成変換となる．

ここで $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ $=\dfrac{w-1}{w}=1-\dfrac{\overline{w}}{|w|^2}$ の虚数部分が正となることと $w$ の虚数部分が正となることは同値であるから，そのような $w$ の存在する範囲は「直線 $\mbox{OP}$ の $\rm O$ から見て $\rm P$ の左側の部分（直線 $\mbox{OP}$ を除く）」となる．よって求める $z$ の範囲は

「直線 $\mbox{AB}$ の $\rm A$ から見て $\rm B$ の左側の部分（直線 $\mbox{AB}$ を除く）」

となる．

(2) (1)と同様にして複素数平面上で $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ の虚数部分が負となる $z$ の存在する範囲は

「直線 $\mbox{AB}$ の $\rm A$ から見て $\rm B$ の右側の部分（直線 $\mbox{AB}$ を除く）」

となる．

$\mbox{Z}(z)$ ， $\mbox{A}(\alpha)$ ， $\mbox{B}(\beta)$ ， $\mbox{C}(\gamma)$ とおく． $f(z)=(z-\alpha)(z-\beta)+(z-\beta)(z-\gamma)+(z-\gamma)(z-\alpha)$ とおくと， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は互いに相異なる複素数であるから $f(\alpha)=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)\neq 0$ であり，同様に $f(\beta)\neq 0，f(\gamma)\neq 0$ である．よって $z\neq\alpha，\beta，\gamma$ となる．

このとき
$\dfrac{f(z)}{(z-\alpha)(z-\gamma)}$ $=\dfrac{z-\beta}{z-\gamma}+\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}+1=0$
となり $\dfrac{z-\beta}{z-\gamma}$ の虚数部分と $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ の虚数部分の和は $0$ となる．
ここでもし両者が $0$ であるとすると $\rm Z$ は直線 $\rm BC$ ， $\rm AB$ 上にあることになり $\rm Z=B$ となり， $z\neq \beta$ に反するので，それぞれの虚数部分は $0$ でなく，よってそれぞれの虚数部分は異符号となる．よって $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ の虚数部分と $\dfrac{z-\gamma}{z-\beta}$ の虚数部分は同符号となる．

同様に考えると結局， $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ ， $\dfrac{z-\gamma}{z-\beta}$ ， $\dfrac{z-\alpha}{z-\gamma}$ の虚数部分は全て同符号となる．

つまり， $\rm Z$ は

「直線 $\mbox{AB}$ の $\rm A$ から見て $\rm B$ の左側の部分（直線 $\mbox{AB}$ を除く）かつ直線 $\mbox{BC}$ の $\rm B$ から見て $\rm C$ の左側の部分（直線 $\mbox{BC}$ を除く）かつ直線 $\mbox{CA}$ の $\rm C$ から見て $\rm A$ の左側の部分（直線 $\mbox{CA}$ を除く）」

または

「直線 $\mbox{AB}$ の $\rm A$ から見て $\rm B$ の右側の部分（直線 $\mbox{AB}$ を除く）かつ直線 $\mbox{BC}$ の $\rm B$ から見て $\rm C$ の右側の部分（直線 $\mbox{BC}$ を除く）かつ直線 $\mbox{CA}$ の $\rm C$ から見て $\rm A$ の右側の部分（直線 $\mbox{CA}$ を除く）」

のいずれかとなる．ここで $\rm A，B，C$ が反時計回りにあるときは前者が $\triangle\mbox{ABC}$ の内部となり後者が空集合となり， $\rm A，B，C$ が時計回りにあるときは後者が $\triangle\mbox{ABC}$ の内部となり前者が空集合となる．

いずれにせよ，題意を満たす $z$ は $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を頂点とする三角形の内部に存在する．

(2) には次のような有名な解法が知られている．

[うまい解答]
(2) $f(z)=(z-\alpha)(z-\beta)+(z-\beta)(z-\gamma)+(z-\gamma)(z-\alpha)$ とおくと， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は互いに相異なる複素数であるから $f(\alpha)=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)\neq 0$ であり，同様に $f(\beta)\neq 0，f(\gamma)\neq 0$ である．よって $z\neq\alpha，\beta，\gamma$ となる．

このとき
$\dfrac{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)(z-\gamma)}$ $=\dfrac{1}{z-\gamma}+\dfrac{1}{z-\alpha}+\dfrac{1}{z-\beta}$ $=\dfrac{\overline{z-\gamma}}{|z-\gamma|^2}+\dfrac{\overline{z-\alpha}}{|z-\alpha|^2}+\dfrac{\overline{z-\beta}}{|z-\beta|^2}=0$
が成立する．よって $\dfrac{z-\gamma}{|z-\gamma|^2}+\dfrac{z-\alpha}{|z-\alpha|^2}+\dfrac{z-\beta}{|z-\beta|^2}=0$ となり， $z-\gamma$ ， $z-\alpha$ ， $z-\beta$ の一次結合の係数が全て正となっているので $z$ は $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を頂点とする三角形の内部に存在する．

シュタイナー(Steiner)の内接楕円についてはとりあえず
manabitimes.jp
を見ておけば良い．ブログ主は現代数学社の本で読んだ気がするのでそのうち確認しておく．