https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Ri

2025.07.10記

[1] $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は互いに相異なる複素数とする．

(1) 複素数平面上で $\dfrac{z-\beta}{z-\alpha}$ の虚数部分が正となる $z$ の存在する範囲を図示せよ．

(2) 複素数 $z$ が $(z-\alpha)(z-\beta)+(z-\beta)(z-\gamma)+(z-\gamma)(z-\alpha)=0$ を満たしているとき， $z$ は $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を頂点とする三角形の内部に存在することを示せ．ただし， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は同一直線上にはないものとする．

[2] (1) $x\geqq0$ のとき，不等式 $\displaystyle e^x\geqq1+\dfrac{1}{2}x^2$ が成立することを示せ．

(2) 自然数 $n$ に対して関数 $f_n(x)=n^2(x-1)e^{-nx}$ の $x\geqq0$ における最大値を $M_n$ とする．このとき， $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty M_n$ を求めよ．

[3] $xy$ 平面上の点で $x$ 座標、 $y$ 座標がともに整数である点を格子点という． $a$ ， $k$ は整数で $a\geqq2$ とし，直線 $L:ax+(a^2+1)y=k$ を考える．

(1) 直線 $L$ 上の格子点を1つ求めよ．

(2) $k=a(a^2+1)$ のとき， $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点は存在しないことを示せ．

(3) $k\gt a(a^2+1)$ ならば， $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点が存在することを示せ．

[4] 直方体 $\mbox{ABCD}$ - $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$ において，四角形 $\mbox{ABCD}$ と四角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'\mbox{D}'$ は向かい合った1組の面であり， $\mbox{AA}'$ ， $\mbox{BB}'$ ， $\mbox{CC}'$ ， $\mbox{DD}'$ はこの直方体の辺である．ここで $\mbox{AA}'=1$ ， $\mbox{AB}=1$ ， $\mbox{AD}=\sqrt{2}$ とする．この直方体の内部を通る線分 $\mbox{AC}'$ 上に点 $\mbox{P}$ をとり， $\mbox{P}$ を通り $\mbox{AC}'$ に垂直な平面による直方体の切り口を考える．