https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Bun

2025.07.10記

[5] $xy$ 平面において座標軸に平行な直線 $x=m$ および $y=n$ （ $m=0，1，2$ ， $n=0，1，2$ ）で表される道路網がある．原点 $(0，0)$ からみて $x$ 軸の正の方向が東， $y$ 軸の正の方向が北であるものとする． $\mbox{A}$ と $\mbox{B}$ の2人が同時にそれぞれ $(2，2)$ ， $(0，0)$ から出発して道路を進む． $\mbox{A}$ の速さと $\mbox{B}$ の速さは等しく，両者は各交差点において独立に進行方向を次のように決める．

$\mbox{A}$ は確率 $p$ で南，確率 $1-p$ で西に進む．

$\mbox{B}$ は確率 $q$ で北，確率 $1-q$ で東に進む．

ただし， $0\leqq p \leqq 1$ ， $0\leqq q \leqq 1$ とする．このとき

(1) 2人が出会う確率 $f(p，q)$ を求めよ．

(2) $q$ が $0\leqq q\leqq\dfrac{1}{2}$ の範囲で与えられたとき， $f(p，q)$ が最大となる $p$ の値，およびその最大値 $M(q)$ を $q$ を用いて表せ．

2025.08.02記
(2) は $p$ についての2次関数になりますが，これを2次関数と考えると面倒です．複雑な2次関数の場合，微分を用いる柔軟性も必要です．

[解答]
(1) 出会うのは $(0，2)$ ， $(1，1)$ ， $(2，0)$ のいずれかだから
$f(p，q)=(1-p)^2q^2+4p(1-p)q(1-q)+p^2(1-q)^2$
となる．

(2) (1)の確率を $p$ について整理すると $F(p)=(6q^2-6q+1)p^2+2(2q-3q^2)p+q^2$ となる．

$F'(p)=2(6q^2-6q+1)p+2(2q-3q^2)$ は1次関数であるから， $F'(p)$ の符号変化は高々1度のみ…(★)である．

$F'(0)=2q(2-3q)\geqq0$ （等号は $q=0$ ），
$F'(1)=2(6q^2-6q+1)+2(2q-3q^2)=6q^2-8q+2=2(3q-1)(q-1)$ ，
となるので，

(i) $0\leqq q\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき：
$F'(0)\geqq 0$ ， $F'(1)\geqq 0$ であるから(★)により $F(p)$ は $0\leqq p\leqq 1$ で単調増加だから $F(p)$ の最大値は $F(1)=(1-q)^2$ となる．

(ii) $\dfrac{1}{3}\leqq q\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき：
$F'(0)\geqq 0$ ， $F'(1)\lt 0$ であるから(★)により $F(p)$ は $F'(p)=0$ なる $p=\dfrac{3q^2-2q}{6q^2-6q+1}$ で極大かつ最大．このとき
$F(p)=(6q^2-6q+1)\left(\dfrac{3q^2-2q}{6q^2-6q+1}\right)^2+2(2q-3q^2)\cdot \dfrac{3q^2-2q}{6q^2-6q+1}+q^2$ $=\dfrac{-q^2(9q^2-12q+4)}{6q^2-6q+1}+q^2$ $=\dfrac{-q^2(3q^2-6q+3)}{6q^2-6q+1}$ $=\dfrac{3q^2(1-q)^2}{1+6q-6q^2}$ となる．

結果からもわかるし，問題設定の対称性から $P=\dfrac{1}{2}-p$ ， $Q=\dfrac{1}{2}-q$ と置く方が自然である．

[解答]
(2) (1)で $P=\dfrac{1}{2}-p$ ， $Q=\dfrac{1}{2}-q$ と置くと (1) の確率は
$6P^2Q^2-\dfrac{1}{2}(P^2+Q^2)-2PQ+\dfrac{3}{8}$ （ $-\dfrac{1}{2}\leqq P\leqq\dfrac{1}{2}$ ， $0\leqq Q\leqq\dfrac{1}{2}$ ）
となり，これを $P$ について整理すると
$G(P)=\left(6Q^2-\dfrac{1}{2}\right)P^2-2QP+\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2}Q^2$
となる．

$G'(P)=(12Q^2-1)P-2Q$ は1次関数であるから， $G'(P)$ の符号変化は高々1度のみ…(★)である．

$2G'\left(\dfrac{1}{2}\right)=12Q^2-4Q-1=(6Q+1)(2Q-1)\leqq 0$ （等号は $Q=\dfrac{1}{2}$ ）
であり，
$2G'\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-12Q^2-4Q+1=-(6Q-1)(2Q+1)$
により
$G'\left(-\dfrac{1}{2}\right)\gt 0$ となるのは $0\leqq Q\lt\dfrac{1}{6}$
であるから，

(i) $\dfrac{1}{6}\leqq Q\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき：
$G'\left(-\dfrac{1}{2}\right)\leqq 0$ ， $G'\left(\dfrac{1}{2}\right)\leqq 0$ であるから(★)により $G(P)$ は $-\dfrac{1}{2}\leqq P\leqq \dfrac{1}{2}$ で単調減少だから $G(P)$ の最大値は $G\left(-\dfrac{1}{2}\right)=Q^2+\dfrac{Q}{4}+\dfrac{1}{4}=\left(Q+\dfrac{1}{2}\right)^2$ となる．

(ii) $0\leqq Q\leqq\dfrac{1}{6}$ のとき：
$G'\left(-\dfrac{1}{2}\right)\gt 0$ ， $G'\left(\dfrac{1}{2}\right)\leqq 0$ であるから(★)により $G(P)$ は $G'(P)=0$ なる $P=\dfrac{2Q}{12Q^2-1}$ で極大かつ最大．このとき
$G(Q)=\dfrac{(1-4Q^2)^2}{8(1-12Q^2)}$ となる．