https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Bun

2025.07.10記

[4] 関数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ は次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．

(イ) $y=f(x)$ のグラフは，点 $(0，1)$ に関して点対称である．

(ロ) $y=f(x)$ は相異なる2つの極値をもち，2つの極値の差の絶対値は4に等しい．

このとき

(1) $y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と相異なる3点で交わることを示せ．

(2) (1)における3点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ （ただし $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ とする）とおくとき， $f\left( \dfrac{-\beta-\gamma}{2} \right) \gt 2$ を示せ．

本問のテーマ

3次関数の箱（4等分×2等分）
3次方程式の解と三角関数

2025.08.02記

[大人の解答]
(1) 3次関数の箱を考えると極大値は $3$ ，極小値は $-1$ であるから題意は成立する．

(2) $0\lt \beta\lt \gamma$ であり， $\beta\lt x\lt \gamma$ で $f(x)\lt 0$ である．この状況を点 $(0，1)$ に関して点対称移動すると， $-\gamma\lt x\lt -\beta$ で $f(x)\gt 2$ となるので $-\gamma\lt \dfrac{-\beta-\gamma}{2} \lt -\beta$ から題意は成立する．

この考え方を活かすと次のようになる．

[解答]
(1) (イ)(ロ)により $f(x)=x^3-3p^2x+1$ （ $p\gt 0$ ）とおくことができ， $x=p$ で極小値 $-2p^2+1$ ， $x=-p$ で極大値 $2p^2+1$ をとることがわかる．その差 $4p^3=4$ から $p=1$ となり，極小値は $-1$ ，極大値は $3$ となる．これらは異符号であるから $y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と相異なる3点で交わる．

(2) 解と係数の関係から $\alpha+\beta+\gamma=0$ であり，また $\alpha^3=3\alpha+1$ ， $\alpha\lt -p=-1$ だから
$f\left( \dfrac{-\beta-\gamma}{2} \right)=f\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)=\dfrac{1}{8}\alpha^3-\dfrac{3}{2}\alpha+1$ $=\dfrac{7-9\alpha}{8}\gt\dfrac{7+9}{2}=2$
が成立する．

本問の3次方程式の解は $2\cos\theta$ の形をしているので次のように考えることができる．

[うまい解答]
3次関数の箱から3解は $-2\lt x\lt 2$ を満たすので $x=2\cos\theta$ とおくと $f(x)=2\cos 3\theta+1=0$ から $\cos3\theta=-\dfrac{1}{2}$ となり $x=2\cos 40^{\circ}$ ， $2\cos 80^{\circ}$ ， $2\cos 160^{\circ}$ となる．よって(1)が成立する．

このとき， $\gamma=2\cos 40^{\circ}$ ， $\beta=2\cos 80^{\circ}$ ， $\alpha=2\cos 160^{\circ}$ となり，よって $-\gamma=2\cos 140^{\circ}$ ， $-\beta=2\cos 100^{\circ}$ となる．よって
$\dfrac{-\beta-\gamma}{2}=\dfrac{2\cos 140^{\circ}+2\cos 100^{\circ}}{2}$ $=2\cos t$ なる $100^{\circ}\lt t\lt 140^{\circ}$ が存在する（なぜならこの範囲で cos は単調減少だからである）．

このとき $300^{\circ}\lt 3t\lt 420^{\circ}$ だから
$\cos 3t\gt \dfrac{1}{2}$ となり $f\left( \dfrac{-\beta-\gamma}{2} \right) =2\cos 3\theta+1\gt 2\cdot\dfrac{1}{2}+1=2$
が成立する．

$f(x)\gt 2$ となるのは $x=2\cos\theta$ として $0^{\circ}\lt \theta\lt 20^{\circ}$ ， $100^{\circ}\lt \theta\lt 140^{\circ}$ の範囲なのでこのどちらかを示すことになる．解と係数の関係を用いて
$\dfrac{-\beta-\gamma}{2}=\dfrac{\alpha}{2}=\cos 160^{\circ}$
と単純な式で表すことができ，これは一見魅力的であるが，むしろ何のヒントもなしに

[問題] $\cos 160^{\circ}=2\cos\theta$ を満たす $\theta$ が $100^{\circ}\lt \theta\lt 140^{\circ}$ を満たすことを示せ．

という問題を考える方が難しい（ $\theta≒118^{\circ}$ となる）．