https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Bun

2025.07.10記

[3] $xy$ 平面上の点で $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数である点を格子点という．

(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は $\dfrac{1}{2}$ 以上であることを示せ．

(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が $1$ であるとき，この四角形は平行四辺形であることを示せ．

本問のテーマ

基本三角形の面積は $\dfrac{1}{2}$

2025.08.02記
基本三角形とは3頂点が格子点でそれ以外の周及び内部に格子点を持たない三角形のこと．4頂点が格子点でそれ以外の周及び内部に格子点を持たない凸四角形は平行四辺形に限ることを証明させる問題．

[解答]
(1) 三角形を平行移動して頂点の1つを $(0，0)$ としたときの残りの2頂点の座標を $(a，c)$ ， $(b，d)$ とすると $a，b，c，d$ は整数でその面積は $\dfrac{1}{2}|ad-bc|$ である．ここで $ad-bc\neq 0$ （ $ad-bc=0$ のときは面積 $0$ となり三角形ではない）であるから整数 $|ad-bc|$ は1以上となり，よって三角形の面積は $\dfrac{1}{2}$ 以上である．

(2) 四角形を $\mbox{ABCD}$ （頂点はこの順番に反時計回り）とすると $\triangle\mbox{ABC}+\triangle\mbox{CDA}=1$ と(1)から
$\triangle\mbox{ABC}=\triangle\mbox{CDA}=\dfrac{1}{2}$
が成立し，同様に $\triangle\mbox{BCD}=\triangle\mbox{DAB}=\dfrac{1}{2}$ も成立する．
よって
$\triangle\mbox{ABC}=\triangle\mbox{BCD}$
となり， $\mbox{BC}\parallel\mbox{AD}$ が成立し，同様に $\mbox{AB}\parallel\mbox{DC}$ も成立するのでこの四角形は平行四辺形である．