https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Kouki_Bun

2025.07.10記

[2] 実数 $x$ ， $y$ が $x \geqq y \geqq 1$ を満たすとき，次の不等式が成立することを示せ．

$(x+y-1)\log_2(x+y)\geqq(x-1)\log_2x+(y-1)\log_2y+y$

2025.08.02記
文系の範囲では微分できないので不等式を整理することから始まる．その際，次数を揃えることに気をつける．

[解答]
$(x+y-1)\log_2(x+y)\geqq(x-1)\log_2x+(y-1)\log_2y+y$ を整理することにより
$(x+y)^{x+y-1}\geqq x^{x-1}y^{y-1}2^y$
を示せば良い．これを
$(x+y)^{x-1}(x+y)^{y-1}(x+y)\geqq x^{x-1}(2y)^{y-1}\cdot 2$
と見ると
$x+y\gt x$ ， $x+y\geqq 2y\geqq 2$
であるからこの不等式は成立する．

理系の範囲であるなら次のように考えても良い(実質同じ)

[別解]
増減表から $(t-1)\log_2 t$ は $t\geqq 1$ で単調増加だから
$(x+y-1)\log_2(x+y)$ $=\{(x-1)+(y-1)+1\}\log_2(x+y)$ $\geqq (x-1)\log_2 x+(y-1)\log_2(2y)+\log_2 2$
$\geqq (x-1)\log_2 x+(y-1)\log_2 y+(y-1)+y-1+1$
が成立する．

理系の範囲だが微分してみよう．まずは $y$ を固定して $x$ で微分してみよう．

[別解]
$f(x，y)=(x+y-1)\log_2(x+y)-(x-1)\log_2x-(y-1)\log_2y-y$ を $x$ の関数とみて $F(x)$ とおくと
$F'(x)=\log_2(x+y)+(x+y-1)\dfrac{1}{(\log 2)(x+y)}-\log_2 x -(x-1)\dfrac{1}{(\log2)x}$ $=\log_2 \dfrac{x+y}{x}+\dfrac{y}{(\log 2)(x+y)x}\gt 0$
であるから
$f(x，y)\geqq F(y)=(2y-1)\log_2(2y)-(y-1)\log_2y-(y-1)\log_2y-y$
$=\log_2 y+y-1=:G(y)$
となる．
$G'(y)=\dfrac{1}{(\log 2)y}+1\gt 0$
であるから
$f(x，y)\geqq G(1)=\log_2 1+1 -1=0$
となる．

$x$ を固定すると次のようになる．

[別解]
$f(x，y)=(x+y-1)\log_2(x+y)-(x-1)\log_2x-(y-1)\log_2y-y$ を $y$ の関数とみて $P(y)$ とおくと
$P'(y)=\log_2(x+y)+(x+y-1)\dfrac{1}{(\log 2)(x+y)}-\log_2 y -(y-1)\dfrac{1}{(\log2)y}-1$ $=\log_2 \dfrac{x+y}{2y}+\dfrac{x}{(\log 2)(x+y)y}\gt 0$
であるから
$f(x，y)\geqq P(1)=x\log_2(x+1)-(x-1)\log_2x-1=:Q(x)$
となる．
$Q'(x)=\log_2(x+1)+x\dfrac{1}{(\log 2)(x+1)}-\log_2 x -(x-1)\dfrac{1}{(\log2)x}$
$=\log_2 \dfrac{x+1}{x}+\dfrac{1}{(\log 2)(x+1)x}\gt 0$
であるから
$f(x，y)\geqq Q(1)=\log_2 2-1=0$
となる．

$Q'$ は $P'$ の $2\mapsto 1$ ， $x\mapsto 1$ ， $y\mapsto 1$ とした形の類似性に気付くと良い．