2000年(平成12年)京都大学後期-数学(文系)

[1] 複素数 は を満たしている．このとき， となる自然数 が存在することを示せ．

[2] 実数 ， が を満たすとき，次の不等式が成立することを示せ．

[3] 平面上の点で 座標， 座標がともに整数である点を格子点という．

(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は 以上であることを示せ．

(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が であるとき，この四角形は平行四辺形であることを示せ．

[4] 関数 は次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．

(イ) のグラフは，点 に関して点対称である．

(ロ) は相異なる2つの極値をもち，2つの極値の差の絶対値は4に等しい．

このとき

(1) のグラフは 軸と相異なる3点で交わることを示せ．

(2) (1)における3点の 座標を ，， （ただし とする）とおくとき， を示せ．

[5] 平面において座標軸に平行な直線 および （ ， ）で表される道路網がある．原点 からみて 軸の正の方向が東， 軸の正の方向が北であるものとする． と の2人が同時にそれぞれ ， から出発して道路を進む． の速さと の速さは等しく，両者は各交差点において独立に進行方向を次のように決める．

は確率 で南，確率 で西に進む．

は確率 で北，確率 で東に進む．

ただし， ， とする．このとき

(1) 2人が出会う確率 を求めよ．

(2) が の範囲で与えられたとき， が最大となる の値，およびその最大値 を を用いて表せ．