https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Bunkei

2025.07.10記

[5] $a$ を実数とする． $x$ の $2$ 次方程式 $\displaystyle x^2-ax=2\int_0^1|t^2-at|\, dt$ は $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲にいくつの解をもつか．

2025.07.22記
$f(x;a)=2\displaystyle\int_0^1 |f(t;a)|\, dt$ となるので何か意味がありそうだが，良くわからない．

[解答]
$C(a)=\displaystyle 2\int_0^1|t^2-at|\, dt\gt 0$ とおき， $f(x)=x^2-ax-C(a)$ とおくと「 $y=f(x)$ は下に凸な2次関数で頂点の $x$ 座標は $\dfrac{a}{2}$ …① 」であり， $f(0)=f(a)=-C(a)\lt 0$ であるから「 $0$ と $a$ の間で $f(x)\lt 0$ …②」である．

ここで $A(x)=ax^2-\dfrac{2}{3}x^3$ とおく．

(i) $a\leqq 0$ のとき：
①より $f(x)$ は $0\leqq x\leqq 1$ で単調増加である．
$f(1)=1-a-C(a)=1-a+A(1)=\dfrac{1}{3}\gt 0$ であるから②とあわせて解は1個である．

(ii) $0\leqq a\leqq 1$ のとき：
①より $f(x)$ は $0\leqq x\leqq a$ で負の値をとり， $a\leqq x\leqq 1$ で単調増加である．
$f(1)=1-a-C(a)=1-a+A(1)-2A(a)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}a^3$ であるから②とあわせて
$a\leqq\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき解は1個，
$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt a$ のとき解は0個である．

(iii) $1\leqq a$ のとき：
①より $f(x)$ は $0\leqq x\leqq 1$ で負の値をとるので解は0個である．

以上から $a\leqq\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき解は1個， $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\lt a$ のとき解は0個である．

$C'(a)=\begin{cases} -1 & (a\leqq 0) \\ 2a^2-1 & (a\leqq 0) \\ 1 & (1\leqq a) \end{cases}$
となるので
$\dfrac{d}{da}f(1)=\begin{cases} 0 & (a\leqq 0) \\ -2a^2 & (a\leqq 0) \\ -2 & (1\leqq a) \end{cases}$
となることから $f(1)$ は $a$ について単調非増加（広義に単調減少）となる．