https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2000/Bunkei

2025.07.10記

[2] 実数 $x_1，\cdots，x_n$ （ $n\geqq 3$ ）が条件 $x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}\gt 0$ （ $2\leqq k\leqq n-1$ ）を満たすとし， $x_1$ ， $\cdots$ ， $x_n$ の最小値を $m$ とする．このとき， $x_l=m$ となる $l$ （ $1\leqq l \leqq n$ ）の個数は $1$ または $2$ であることを示せ．

本問のテーマ

凸数列

2025.07.22記
$(n，x_n)$ をプロットすると下に凸となるので，最小値を与える $n$ は高々2つとなることがわかる．

[解答]
$y_k=x_{k+1}-x_k$ （ $k=1，2，…，n-1$ ）， $z_k=y_{k}-y_{k-1}=x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}$ （ $k=2，2，…，n-1$ ）
とおくと，条件から $z_k\gt 0$ （ $k=2，2，…，n-1$ ）であるから $y_k$ （ $k=1，2，…，n-1$ ）は単調に増加する数列となる．

(i) $y_1\gt 0$ のとき：
$y_k\gt 0$ （ $k=1，2，…，n-1$ ）であるから，
$x_1\lt x_2 \lt\cdots\lt x_n$ となり，最小値を与える $x$ の添字は $1$ の1個である．

(ii) $y_1=0$ のとき：
$y_1=0$ ， $y_k\gt 0$ （ $k=2，…，n-1$ ）であるから，
$x_1=x_2 \lt x_3\lt \cdots\lt x_n$ となり，最小値を与える $x$ の添字は $1，2$ の2個である．

(iii) $y_1\lt 0$ のとき：

(a) $y_{n-1}\lt 0$ のとき：
$y_k\lt 0$ （ $k=1，2，…，n-1$ ）であるから，
$x_1\gt x_2 \gt\cdots\gt x_n$ となり，最小値を与える $x$ の添字は $n$ の1個である．

(b) $y_{n-1}=0$ のとき：
$y_k\lt 0$ （ $k=1，2，…，n-2$ ）， $y_{n-1}=0$ であるから，
$x_1\gt x_2 \gt\cdots\gt x_{n-1}=x_n$ となり，最小値を与える $x$ の添字は $n-1，n$ の2個である．

(c) $y_{n-1}\gt 0$ のとき：
$y_m\leqq 0$ ， $y_{m+1}\gt 0$ をみたす $m$ （ $1\leqq m\lt n-1$ ）が存在し，このとき
$x_1\gt x_2 \gt\cdots\gt x_m\geqq x_{m+1}\lt x_{m+2}\lt \cdots\lt x_n$ となり，最小値を与える $x$ の添字は
$y_m=0$ の場合は $m，m+1$ の2個， $y_m\gt 0$ の場合は $m+1$ の1個である．

以上から最小値を与える $x$ の添字の個数は1個か2個である．