2000年(平成12年)京都大学前期-数学(文系)

[1] 円に内接する四角形 は次の条件(イ)，(ロ)を満たすとする．

(イ)三角形 は正三角形である．

(ロ) と の交点は線分 を （ ）の比に内分する．

このときベクトル を ， ， を用いて表せ．

[2] 実数 （ ）が条件 （ ）を満たすとし，，， の最小値を とする．このとき， となる （ ）の個数は または であることを示せ．

[3] ， とする．

(1) 長さ1の空間ベクトル に対し， ， とおく．このとき次の不等式 が成り立つことを示せ．

(2) 不等式 を満たす （ ）の範囲を図示せよ．

[4] 三角形 において辺 ，， の長さをそれぞれ ，， とする．この三角形 は次の条件(イ)，(ロ)，(ハ)を満たすとする．

(イ) ともに 以上である自然数 と が存在して， ，， となる．

(ロ) 自然数 が存在して ，， のいずれかは である．

(ハ) ，， のいずれかは である．

このとき次の問に答えよ．

(1) ，， を大きさの順に並べよ．

(2) ，， を求めよ．

[5] を実数とする． の 次方程式 は の範囲にいくつの解をもつか．