https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1999/Kouki_Bun

2025.11.04記

[2] $\alpha$ ， $\beta$ が $\alpha\gt 0^{\circ}$ ， $\beta\gt 0^{\circ}$ ， $\alpha+\beta\lt 0^{\circ}$ かつ $\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin^2(\alpha+\beta)$ を満たすとき， $\sin\alpha+\sin\beta$ の取りうる範囲を求めよ．

本問のテーマ

正弦の和と差の積

2025.11.04記
正弦の和と差の積については 2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[5](数字) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を参照してください．

[解答]
$\sin^2\alpha=\sin^2(\alpha+\beta)-\sin^2\beta$ $=\sin(\alpha+2\beta)\sin\alpha$
および $0^{\circ}\lt \alpha \lt 180^{\circ}-\beta\lt180^{\circ}$ から $\sin\alpha\neq 0$ により
$\sin\alpha=\sin(\alpha+2\beta)$
となる．ここで $0^{\circ}\lt \alpha \lt 180^{\circ}-\beta\lt180^{\circ}$ ， $0^{\circ}\lt \alpha+2\beta \lt 180^{\circ}+\beta\lt 360^{\circ}$ ， $\alpha\neq\alpha+2\beta$ であるから $\alpha+2\beta=180^{\circ}-\alpha$ ，つまり $\alpha+\beta=90^{\circ}$ である．

このとき $\sin\alpha+\sin\beta=\sin\alpha+\cos\alpha$ の $0^{\circ}\lt \alpha =90^{\circ}-\beta \lt 90^{\circ}$ の取りうる範囲は $1\lt\sin\alpha+\sin\beta\leqq\sqrt{2}$ となる．

[別解]
（途中から）

$\sin\alpha=\sin(\alpha+2\beta)$ から
$\sin(\alpha+2\beta)-\sin\alpha$ $=2\sin(\alpha+\beta)\sin\beta$
となり， $\sin\beta\neq 0$ から $\sin(\alpha+\beta)=0$ ，つまり $\alpha+\beta=90^{\circ}$ である．

（以下略）

結局，
$\sin^2\alpha+\sin^2\beta-\sin^2(\alpha+\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)$
となっているのが面白いですね．

2025.11.06記
備忘録 - 球面倶楽部零八式 mark II
正弦の和と差の積 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．