https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1998/Kouki

2024.10.07記

[6] 自然数 $n$ にたいし， $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos^n2\theta \sin^3\theta d\theta$ とする．

(1) $I_2$ の値を求めよ．

(2) $xy$ 平面上で原点 $\rm O$ から点 $\mbox{P}(x，y)$ への距離を $r$ ， $x$ 軸の正の方向と半直線 $\rm OP$ のなす(弧度法による)角を $\theta$ とする．方程式 $r=\sin2\theta$ ， $\displaystyle\left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right)$ で表される曲線を，直線 $y=x$ の周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積を $V$ とするとき， $V=3\pi I_3+2\pi I_2$ と表されることを示せ．

本問のテーマ

四葉線（バラ曲線(wikipedia) ）
極方程式の回転体(リンク)

2024.10.06記
式で書くと $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$ となる．

極方程式の回転体の公式を用いると
$V=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\dfrac{2\pi}{3}\cos^3 2\theta\sin\theta\,d\theta$
となるが，これが
$3\pi I_3+2\pi I_2=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\pi (3\cos2\theta+2)\cos^22\theta\sin^3\theta\,d\theta$
に等しいことを示すには
$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(2\cos 2\theta- 9\cos2\theta\sin^2\theta-6\sin^2\theta)\cos^2 2\theta\sin\theta\,d\theta=0$
を示さなければならず，これは意外と面倒で積分を素直に実行するのが速いという皮肉になっている．

ちなみに $I_3=\dfrac{68\sqrt{2}-94}{315}$ ， $V=\dfrac{16\sqrt{2}-18}{105}\pi$ となるので素直な計算も結構大変である．

[解答]
(1) $I_2=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos^2 2\theta\sin^3\theta\,d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}(2\cos^2\theta-1)^2(1-\cos^2\theta)\sin\theta\,d\theta$
$=\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^{1}(2t^2-1)^2(1-t^2)\,dt$ （ $t=\cos\theta$ ）
$=\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^{1}(-4t^6+8t^4-5t^2+1)\,dt$
$=\left(-\dfrac{4}{7}+\dfrac{8}{5}-\dfrac{5}{3}+1\right)$ $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(-\dfrac{4}{7\cdot8}+\dfrac{8}{5\cdot4}-\dfrac{5}{3\cdot2}+1\right)$ $=\dfrac{-60+168-175+105}{105}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{-15+84-175+210}{210}$ $=\dfrac{38}{105}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{52}{105}$ $=\dfrac{38-26\sqrt{2}}{105}$

(2) 原点中心に $-\dfrac{\pi}{4}$ 回転させた曲線の極方程式は $r=\cos2\theta$ で，これは $x$ 軸対称であるから， $V=\displaystyle\int_{0}^{1}\pi y^2 dx$
$=\displaystyle\int_{\pi/4}^0 \pi (\cos2\theta\sin\theta)^2\cdot(\cos2\theta\cos\theta)'\, d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \pi (\cos2\theta\sin\theta)^2\cdot(2\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta)\, d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \pi (\cos2\theta\sin\theta)^2\cdot(4\sin\theta\cos^2\theta+\cos2\theta\sin\theta)\, d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \pi \cos^2 2\theta\sin^3\theta\cdot(4\cos^2\theta+\cos2\theta)\, d\theta$
$=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \pi \cos^2 2\theta\sin^3\theta\cdot(3\cos2\theta+2)\, d\theta$
$=3\pi I_3+2\pi I_2$
となる．