https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1997/Kouki_Bun

2025.11.04記

[4] 3角形 $\triangle\mbox{ABC}$ において，
$\alpha=\sin2A$ ， $\beta=\sin2B$ ， $\gamma=\sin2C$ とおくとき，次の2つの条件(イ)，(ロ)は互いに同値（ $(イ)\Longleftrightarrow(ロ)$ ）であることを示せ．

(イ) $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ .

(ロ) $A=45^{\circ}$ ，または $A=135^{\circ}$ ，または $B=90^{\circ}$ ，または $C=90^{\circ}$ ．

本問のテーマ

正弦の和と差の積

2025.11.04記
正弦の和と差の積については 2024年(令和6年)防衛医科大学校医学科-数学[5](数字) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR を参照してください．また 1999年(平成11年)京都大学後期-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR のコメントをほぼそのまま使います．

[解答]
$\beta^2+\gamma^2-\alpha^2$ $=\sin^2 2B + \sin^2 2C - \sin^2 2A$
$=\sin^2 2B + \sin 2(C+A) \sin 2(C-A)$
$=\sin^2 2B - \sin 2B \sin 2(C-A)$
$=-\sin 2B\{\sin 2(C+A) + \sin 2(C-A)$ $=-2\sin 2B\sin 2C \cos 2A=0$ であるから，(イ)は $\cos 2A=0$ ，または $\sin 2B=0$ ，または $\sin 2C=0$ と同値となり，よって(ロ)と同値となる．

正弦の和と差の積を利用しないと結構大変になります．しかし正弦の和と差の積を利用すると， $\beta^2+\gamma^2-\alpha^2$ から $\sin2B\sin2C$ が括り出せることが瞬時にわかります．[解答]で一旦 $\sin 2B$ で括ったあと残った $B$ を $180^{\circ}-A-C$ に戻したのは（ $B，C$ の対称性により） $\sin 2C$ で括れることがわかっているからなのです．

2025.11.06記
備忘録 - 球面倶楽部零八式 mark II
正弦の和と差の積 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．