https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1996/Kouki_Bun

2025.11.04記

[1](1) $\cos5\theta=f(\cos\theta)$ をみたす多項式 $f(x)$ を求めよ．

(2) $\cos\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{3\pi}{10}\cos\dfrac{7\pi}{10}\cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$ を示せ．

2025.11.04記

[解答]
(1) ド・モアブルの定理の実部から
$\cos5\theta$ $=\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+5\cos\theta\sin^4\theta$
$=\cos^5\theta-10\cos^3\theta(1-\cos^2\theta)+5\cos\theta(1-\cos^2\theta)^2$
$=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta$
となるので， $f(x)=16x^5-20x^3+5x$ となる．

(2) 5次方程式 $f(x)=16x^5-20x^3+5x=0$ の解は $x=\cos \theta$ とおくと $\cos 5\theta = 0 =\cos\dfrac{5\pi}{10}$ が成立することから
$\theta=\dfrac{\pi}{10}$ ， $\dfrac{3\pi}{10}$ ， $\dfrac{5\pi}{10}$ ， $\dfrac{7\pi}{10}$ ， $\dfrac{9\pi}{10}$ となり，
$x=\cos\dfrac{\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{3\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{5\pi}{10}(=0)$ ， $\cos\dfrac{7\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{9\pi}{10}$ となり，
$x=\cos\dfrac{\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{3\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{7\pi}{10}$ ， $\cos\dfrac{9\pi}{10}$ は $f(x)=0$ の $0$ 以外の4つの解，つまり $16x^4-20x^2+5=0$ の4解となる．よって解と係数の関係から
$\cos\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{3\pi}{10}\cos\dfrac{7\pi}{10}\cos\dfrac{9\pi}{10}=\dfrac{5}{16}$
が成立する．

同様に考えると
$\cos\left(\theta-\dfrac{4\pi}{5}\right)\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos \theta\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{5}\right)$ $=\dfrac{\cos5\theta}{16}$
が成立し，本問の場合は $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ と置いたものなのですが，そのままだと $0=0$ となるので
$\cos\left(\theta-\dfrac{4\pi}{5}\right)\cos\left(\theta-\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{4\pi}{5}\right)$ $=\dfrac{\cos5\theta}{16\cos\theta}\to\dfrac{5}{16}$ （ $\theta\to\dfrac{\pi}{2}$ ）
のように極限をとります．

2025.11.06記
備忘録 - 球面倶楽部零八式 mark II
正弦の和と差の積 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．