https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1988/Rikei

2025.04.04記

[3] $A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ とする．

(1) $\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix}$ $=A\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ で， $x^2-3y^2=1$ ， $x\gt 0$ ， $y\geqq 1$ ならば， $x'{}^2-3y'{}^2=1$ ， $0\leqq y'\lt y$ が成立することを示せ．

(2) $x，y$ が $x^2-3y^2=1$ をみたす自然数ならば，ある自然数 $n$ をとると， $\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ となることを示せ．

本問のテーマ

ペル方程式

2025.04.04記

[解答]
(1) $x'=2x-3y$ ， $y'=-x+2y$ であるから
$x'{}^2-3y'{}^2=(2x-3y)^2-3(-x+2y)^2=x^2-3y^2=1$
であり， $x^2=3y^2+1$ だから $x\gt 0$ より $x=\sqrt{3y^2+1}\gt\sqrt{3}y$ であり， $y\geqq 1$ より $x=\sqrt{3y^2+1}\leqq\sqrt{3y^2+y^2}=2y$ だから $-2y\leqq -x\lt-\sqrt{3}y$ が成立するので， $0\leqq y'=-x+2y\lt (2-\sqrt{3})y\lt y$ が成立する．

(2) $x'=2x-3y\gt (2\sqrt{3}-3)\gt 0$ であるから， $y\geqq 1$ ならば(1)の変換によって $x^2-3y^2=1$ の $y$ の値が小さい $x$ が正で $y$ が非負の整数解が得られる．

よってこの変換を繰り返すと $x^2-3y^2=1$ の $x$ が正で $y$ が非負の整数解において $y$ が単調減少するものが次々と得られる．よって $y$ は最終的に $0$ とならざるを得ず， $y=0$ のとき $x$ は正であるから $x=1$ となるので，この操作の行きつく先は必ず $(x，y)=(1，0)$ となる．そしてこの操作を行った回数を $n$ とすると
$\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
が成立する．

ペル方程式については
ペル方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II
を参照のこと．

ペル方程式 $x^2-3y^2=1$ の最小の自然数解は $(x，y)=(2，1)$ であるから
$x_n+\sqrt{3}y_n=(2+\sqrt{3})^n$
によって自然数解が生成される．このとき
$x_{n+1}=2x_n+3y_n$ ， $y_{n+1}=x_n+2y_n$
であるから $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_n \\ y_n\end{pmatrix}$ が成立し，よって $\begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{pmatrix}$ が成立する．

本問から，全ての自然数解が $(x，y)=(2，1)$ から生成されることがわかり，
ペル方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II
(1)の $D=3$ の場合の証明を与えていることになる．また，ここで $n=0$ としたものが $(x_0，y_0)=(1，0)$ となっている．