https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei_6

2026.02.14.13:00:50記

[6] （旧課程）長さの単位をセンチメートル，時間 $t$ の単位を秒とする．曲線 $y=x^2$ の軸を鉛直にして，この曲線を軸のまわりに回転してえられる曲面を内面とする容器がある．ある時刻 $(t=0)$ に水をこの容器に入れ始め，任意の $t$ （ $\gt 0$ ）に対して， $t$ 秒後の水面の上昇速度が $t^2\mbox{cm}/\mbox{sec}$ であるようにするには，水の注入速度（単位は $\mbox{cm}^3/\mbox{sec}$ ）をどのようにすればよいか．

2026.02.19.16:56:04記
回転放物面と軸に垂直な平面で囲まれる部分の体積は円柱の体積の半分ですから時刻 $t$ における水面の高さ及び注入した水の体積を $h(t)\mbox{cm}$ ， $V(t)\mbox{cm}^3$ とすると
$V(t)=\dfrac{1}{2}\pi \sqrt{h(t)}^2\cdot h(t)=\dfrac{1}{2}\pi \{h(t)\}^2$
が成立します．

[解答]
時刻 $t$ における水面の高さ及び注入した水の体積を $h(t)\mbox{cm}$ ， $V(t)\mbox{cm}^3$ とすると
$V(t)=\pi\displaystyle\int_0^{h(t)} (\sqrt{y})^2\, dy=\dfrac{1}{2}\pi \{h(t)\}^2$
であり， $V(0)=h(0)=0$ ， $h'(t)=t^2$ であるから $h(t)=\dfrac{1}{3}t^3$ ， $V(t)=\dfrac{\pi}{18}t^6$ となり，水の注入速度は $V'(t)=\dfrac{\pi}{3}t^5\mbox{cm}^3/\mbox{sec}$ となる．

$V'(t)=\pi h(t)h'(t)=\pi\cdot t^3\cdot\dfrac{1}{3}t^2=\dfrac{\pi}{3}t^5$ としても良い．