https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei_6

2026.02.14.13:00:50記

[6] $2$ つの関数（函数） $\displaystyle y_1=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{x}-\dfrac{\pi}{4}+1$ と $\displaystyle y_2=\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4}x$ とのグラフを考える．

(i) この $2$ つのグラフは， $0\lt x \leqq 1$ の範囲では，点 $(1，1)$ 以外に交点がないことを次の方針で示せ．

$y_3=\dfrac{\pi}{4}(1-x)+1$ を $0\lt x \leqq 1$ の範囲で考えると， $y_1\geqq y_3\geqq y_2$ であり，等号は $x=1$ のときに限り成立する．

(ii) 範囲 $0 \leqq x \leqq 1$ において， $y_1$ のグラフ， $y_2$ のグラフ， $y$ 軸，直線 $\displaystyle y=\dfrac{\pi}{4}+1$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

2026.02.19.16:40:32記
(i) $y=\dfrac{\pi}{4}(1-x)+1$ は $2$ つの関数（函数） $\displaystyle y=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{x}-\dfrac{\pi}{4}+1$ と $\displaystyle y=\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4}x$ の $x=1$ における共通接線であり， $0\lt x\leqq 1$ の範囲で
$\displaystyle y=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{x}-\dfrac{\pi}{4}+1$ は下に凸， $\displaystyle y=\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4}x$ の $x=1$ は上に凸なので
$y_1\geqq y_3\geqq y_2$ が成立します．

[解答]
(i) $\displaystyle f_1(x)=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{x}-\dfrac{\pi}{4}+1$ ， $\displaystyle f_2(x)=\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4}x$ ， $\displaystyle f_3(x)=\dfrac{\pi}{4}(1-x)+1$ とおくと， $f_1'(x)=-\dfrac{\pi}{4x^2}$ ， $f_1''(x)=\dfrac{\pi}{2x^3}$ ， $f_2'(x)=-\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\sin\dfrac{\pi}{4}x$ ， $f_2'’(x)=-\dfrac{\pi^2}{8\sqrt{2}}\cos\dfrac{\pi}{4}x$ であるから $y=f_1(x)$ ， $y=f_2(x)$ の $x=1$ における接線はともに $y=f_3(x)$ に等しく， $0\lt x\leqq 1$ の範囲で $f_1''(x)\gt 0$ ， $f_2''(x)\lt 0$ であるから $y=f_1(x)$ ， $y=f_2(x)$ は $0\lt x\leqq 1$ の範囲でそれぞれ下に凸，上に凸であるから $f_1(x)\geqq f_3(x)\geqq f_2(x)$ （それぞれの等号は $x=1$ においてのみ成立）が成立する．

(ii) 求める面積は
$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+1\right)$ $+\displaystyle\int_{1/2}^1 f_1(x)\, dx$ $-\displaystyle\int_{0}^1 f_2(x)\, dx$
$=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}$ $+\dfrac{\pi}{4}\left(\log 1-\log\dfrac{1}{2}\right)$ $-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{4\sqrt{2}}{\pi}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-0\right)$ $=1+\dfrac{\pi}{4}\log 2-\dfrac{4}{\pi}$
となる．

[解答]
(i) $y_1-y_3=\dfrac{\pi(x-1)^2}{4x}\geqq 0$ （等号成立は $x=1$ ）である．

$y_3-y_2=\dfrac{\pi}{4}(1-x)+1-\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{4}x=f(x)$ とおくと， $f'(x)=\dfrac{\sqrt{2} \pi}{4}\left(\sin\dfrac{\pi}{4}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ は $0\lt x\lt 1$ で負であるから $f(x)$ は $0\lt x\leqq 1$ で単調減少であり， $f(1)=0$ から $0\lt x\leqq 1$ で $y_3-y_2=f(x)\geqq 0$ （等号成立は $x=1$ ）となる．

(ii) 略