https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei_5

2026.02.14.13:00:50記

[5] 以下は平面内の問題である． $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は定点で， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は $1$ 直線上にないものとする．

(i) 点 $\mbox{P}$ が直線 $\mbox{AB}$ 上にあるための必要十分条件は
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $a+b=1$ （ $a$ ， $b$ は実数）と書けることである．これを証明せよ．

(ii) 次の $2$ 条件をみたす実数 $p$ ， $q$ ， $r$ は $p=0$ ， $q=0$ ， $r=0$ 以外にないことを示せ．
$p\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}+r\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$ （零ベクトル）， $p+q+r=0$

(iii) $\mbox{Q}$ がこの平面上の点であって，
$\overrightarrow{\mbox{AQ}}=x\overrightarrow{\mbox{AB}}+y\overrightarrow{\mbox{AC}}$
（ $x$ ， $y$ は実数）であるとき，
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=l\overrightarrow{\mbox{OA}}+m\overrightarrow{\mbox{OB}}+n\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $l+m+n=1$
をみたす実数 $l$ ， $m$ ， $n$ は必ず存在し，しかもおのおのの値はただ $1$ つに定まることを証明せよ．

2026.02.14.18:41:36記
このような基本事項の証明に関する問題は何を出発点とするかに悩みます．

(iii)の「 $2$ つあるかと思ったらそんなことはなかったぜ」という論法は数学では良く用いられます．

[解答]
(i) 点 $\mbox{P}$ が直線 $\mbox{AB}$ 上にあるための必要十分条件は $\overrightarrow{\mbox{AP}}=k\overrightarrow{\mbox{AB}}$ を満たす実数 $k$ が存在すること，つまり $\overrightarrow{\mbox{OP}}=(1-k)\overrightarrow{\mbox{OA}}+k\overrightarrow{\mbox{OB}}$ を満たす実数 $k$ が存在することであるから， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $a+b=1$ （ $a$ ， $b$ は実数）と書けることである．

(ii) $r\neq 0$ と仮定すると $\left(-\dfrac{p}{r}\right)+\left(-\dfrac{q}{r}\right)=1$ かつ
$\overrightarrow{\mbox{OC}}=\left(-\dfrac{p}{r}\right)\overrightarrow{\mbox{OA}}+\left(-\dfrac{q}{r}\right)\overrightarrow{\mbox{OB}}$
が成立するので(i)から点 $\mbox{C}$ が直線 $\mbox{AB}$ 上にあることとなり， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ が $1$ 直線上にないことに反する．よって $r=0$ である．同様に $p=q=0$ となるので， $p=q=r=0$ が必要であり，このとき与えられた $2$ 条件をみたすので十分である．よって与えられた $2$ 条件をみたす実数 $p$ ， $q$ ， $r$ は $p=0$ ， $q=0$ ， $r=0$ 以外にない．

(iii) $\overrightarrow{\mbox{AQ}}=x\overrightarrow{\mbox{AB}}+y\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を変形すると
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=(1-x-y)\overrightarrow{\mbox{OA}}+x\overrightarrow{\mbox{OB}}+y\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ，
$(1-x-y)+x+y=1$
となるので題意を満たす実数 $l$ ， $m$ ， $n$ は必ず存在する．このような実数の組が他にも存在すると仮定し，それを $l'$ ， $m'$ ， $n'$ とすると
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=l\overrightarrow{\mbox{OA}}+m\overrightarrow{\mbox{OB}}+n\overrightarrow{\mbox{OC}}$
$=l'\overrightarrow{\mbox{OA}}+m'\overrightarrow{\mbox{OB}}+n'\overrightarrow{\mbox{OC}}$
$l+m+n=l'+m'+n'=1$
が成立する．このとき
$(l-l')\overrightarrow{\mbox{OA}}+(m-m')\overrightarrow{\mbox{OB}}+(n-n')\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$ ，
$(l-l')+(m-m')+(n-n')=0$
となるので(ii)より $l-l'=m-m'=n-n'=0$ ，つまり $l=l'$ ， $m=m'$ ， $n=n'$ が成立する．つまり題意を満たす実数 $l$ ， $m$ ， $n$ はただ $1$ つに定まる．