https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei

2026.02.14.13:00:50記

[3] 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $a\gt 0$ ， $b\gt 0$ ）上の $1$ 点 $\mbox{P}(x_1，y_1)$ （ $x_1\gt 0$ ， $y_1\gt 0$ ）をとる．この双曲線の $\mbox{P}$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $\mbox{Q}$ とし，座標の原点を $\mbox{O}$ とする．

(i) $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積を $x_1$ を用いて表わせ．

(ii) $x_1\to+\infty$ のとき， $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積の極限値を求めよ．

2026.02.14.17:02:47記

[解答]
(i) 双曲線の $\mbox{P}$ における接線の方程式は $\dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1$ であるから，
$\mbox{Q}\left(\dfrac{a^2}{x_1}，0\right)$ となり， $\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}=1$ に注意して
$\triangle\mbox{OPQ}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2}{x_1}\cdot y_1=\dfrac{ab}{2}\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x_1^2}}$
となる．

(ii) $x_1\to+\infty$ で $\dfrac{a^2}{x_1^2}\to 0$ となるので $\triangle\mbox{OPQ}\to\dfrac{ab}{2}$ となる．

(ii)は $x_1\to+\infty$ で $\dfrac{y_1}{x_1}\to\dfrac{b}{a}$ （漸近線の傾き）となるので $\triangle\mbox{OPQ}=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{y_1}{x_1}\to\dfrac{ab}{2}$ となる，と考えても良い．