https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei

2026.02.14.13:00:50記

[2] 複素数 $Z=x+iy$ ( $x$ ， $y$ は実数， $i$ は虚数単位)が次の(i)または(ii)をみたすように $x$ ， $y$ を定めよ．

(i) $Z^2=i$

(ii) $Z^2-4iZ+(-4+2i)=0$

2026.02.14.16:53:32記
$Z^2=(x^2-y^2)+2xyi=i$ から $x^2=y^2，xy=\dfrac{1}{2}$ を導いて $(x，y)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ （複号同順）を求める方法が基本だと思いますが， $Z^2=i$ の解の $1$ つが $\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}$ であることを利用して，因数分解による解法をしてみましょう．ここで複素数では $ab=0$ と「 $a=0$ または $b=0$ 」は同値になることは説明せずに用いています．

[解答]
$u=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}$ とおくと $u^2=i$ が成立する．

(i) $Z^2-i=Z^2-u^2=(Z-u)(Z+u)=0$ であるから $Z=\pm u$ となり $(x，y)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ （複号同順）となる．

(ii) $Z^2-4iZ+(-4+2i)=(Z-2i)^2+2i$ $=(Z-2i)^2-2(iu)^2$ $=(Z-2i+\sqrt{2}iu)(Z-2i-\sqrt{2}iu)=0$ （式変形の複号は同順）
であるから， $Z=2i\pm\sqrt{2}iu=2i\pm i(1+i)$ $=2i\pm (-1+i)$ $=-1+3i，1+i$ となり $(x，y)=(-1，3)，(1，1)$ となる．

以上から，
$(x，y)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}，\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ， $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}，-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ， $(-1，3)$ ， $(1，1)$
となる．

こんな簡単な問題なのに投稿するのに Chrome の不具合を解決しながらだったので無茶苦茶時間がかかってしまった．