https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Rikei

2026.02.14.13:00:50記

[1] (i) $x$ についての方程式 $x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)=0$ $(k\gt 0)$ は $3$ 実根をもつことを証明せよ．

(ii) 上の方程式の正の根はただ $1$ つで， $1$ と $\displaystyle 1+\dfrac{2}{k}$ との間にあることを証明せよ．

2026.02.14.15:52:42記

[解答]
(i) $f(x)=x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)$ とおくと， $3$ 次方程式 $f(x)=0$ の実数解は高々 $3$ 個であり，
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ ， $f(-1)=8\gt 0$ ， $f(1)=-8\lt 0$ ， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ であるから， $x\lt -1$ ， $-1\lt x\lt 1$ ， $1\lt x$ の範囲に実数解を $1$ つずつもつ．

(ii) $f(0)=-3k\lt 0$ により $-1\lt x\lt 1$ の範囲にあるただ $1$ つの実数解は $-1\lt x\lt 0$ を満たすので， $f(x)=0$ の正の解はただ $1$ つであり， $x\gt 1$ の範囲にある．さらに
$f\left(1+\dfrac{2}{k}\right)$ $=\dfrac{4(k^3+3k+2)}{k^3}\gt 0$
であるから， $f(x)=0$ の正の解は $1\lt x\lt 1+\dfrac{2}{k}$ の範囲にある．

$f(x)=x^3+3kx^2-9x-3k=0$ の正の解の個数はデカルトの符号律より $1$ 個か $3$ 個であり，負の解を持つことから $f(x)=0$ の正の解は $1$ 個であることがわかります．

また $f(3)=24k\gt 0$ から正の解は $1\lt x\lt \min\left\{3，\dfrac{2}{k}\right\}$ を満たすことがわかります．

(ii)を先読みすると次のような省エネ解答になります．

[解答]
(i)(ii) $f(x)=x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)$ とおくと， $3$ 次方程式 $f(x)=0$ の実数解は高々 $3$ 個であり，
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ ， $f(-1)=8\gt 0$ ， $f(0)=-3k\lt 0$ ， $f(1)=-8\lt 0$ ，
$f\left(1+\dfrac{2}{k}\right)$ $=\dfrac{4(k^3+3k+2)}{k^3}\gt 0$ であるから， $x\lt -1$ ， $-1\lt x\lt 0$ ， $1\lt x\lt 1+\dfrac{2}{k}$ の範囲に実数解を $1$ つずつもつ．

一応，次の式変形も見ておくことにしましょう．

$f(x)=x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)$ とおくと，
$g(X)=f(X+1)=(X+1)(X-2)(X+4)+3kX(X+2)$ $=X^3+3(k+1)X^2+6(k-1)X-8$
$=X^3+3X^2+4+3(kX-2)(X+2)$
が成立するので， $g(0)=-8\lt 0$ ， $g\left(\dfrac{2}{k}\right)\gt 0$ が成立する．

$g\left(\dfrac{2}{k}\right)\gt 0$ が成立しなければ問題は解けないことが予測できるので，登場する $k$ は $kX-2$ の形で変形すると「 $-$ 」の記号が消えて文字正から正であることが示せるはず，と考える訳です（運良く全ての $k$ が $kX-2$ の形にまとまりましたが，それは問題作成者の優しさでしょう）．