https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Bunkei_6

2026.02.14.13:07:12記

[6] (i) $c$ ， $d$ は正の実数であるとして，函数(関数) $\displaystyle f(t)=\dfrac{c^2t^2+d^2}{t}$ を $t\gt 0$ の範囲で考える． $\displaystyle t=\dfrac{d}{c}$ のとき $f(t)$ は最小値となることを証明せよ．

(ii) 平面上の第1象限内に点 $\mbox{P}(a，b)$ をとる． $\mbox{P}$ を通る直線 $l$ を， $x$ 軸， $y$ 軸と正の部分で交わるようにとり，その交点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする． $\triangle\mbox{OAB}$ の面積が最小となるような $l$ の傾きを， $a$ ， $b$ を使って表わせ． $\mbox{O}$ は座標原点である．

本問のテーマ

双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積

2026.02.20.14:32:04記
(ii) 定双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積が一定であり，接点が接点を含む辺を二等分することから $\mbox{P}$ が $\mbox{AB}$ の中点，つまり $\mbox{A}(2a，0)$ ， $\mbox{B}(0，2b)$ のときに $\triangle\mbox{OAB}$ が最小となります．よって求める $l$ の傾きは $-\dfrac{b}{a}$ となることがわかります．

[解答]
(i) $f(t)=\left(c\sqrt{t}-\dfrac{d}{\sqrt{t}}\right)^2+2cd$ は $t=\dfrac{d}{c}$ のときに最小となる．

(ii) $l$ が $x$ 軸， $y$ 軸と正の部分で交わるための必要十分条件は $l$ の傾きは負であることである．よって $l$ の傾きを $-t$ （ $t\gt 0$ ）とおく．

このとき $l$ は $y=-t(x-a)+b$ となり， $\mbox{A}\left(a+\dfrac{b}{t}，0\right)$ ， $\mbox{B}(0，ta+b)$ となるので，
$\triangle\mbox{OAB}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\left(a+\dfrac{b}{t}\right)(ta+b)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a^2t^2+b^2}{t}+ab$
となる．よって(i)により $t=\dfrac{b}{a}$ のときに $\triangle\mbox{OAB}$ は最小となる．このとき， $l$ の傾きは $-l=-\dfrac{b}{a}$ となる．