https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Bunkei_5

2026.02.14.13:07:12記

[5] 水平面上に $3$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ があり， $\angle \mbox{BAC}={90}^{\circ}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AB}=a$ である．ある塔の頂をながめたら， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ からの仰角はそれぞれ ${45}^{\circ}$ ， ${30}^{\circ}$ ， ${30}^{\circ}$ であった．塔の高さを $a$ で表わせ．

2026.02.20.14:04:31記

[解答]
$\mbox{A}(0，0，0)$ ， $\mbox{B}(a，0，0)$ ， $\mbox{C}(0，a，0)$ とし，ある塔の頂きを $\mbox{P}((x，y，z)$ （ $z\geqq 0$ ）とすると，
$z=\sqrt{x^2+y^2}\tan 45^{\circ}$ ， $z=\sqrt{(x-a)^2+y^2}\tan 30^{\circ}$ ， $z=\sqrt{x^2+(y-a)^2}\tan 30^{\circ}$
が成立する．つまり
$z^2=x^2+y^2=\dfrac{x^2-2ax+a^2+y^2}{3}=\dfrac{x^2+y^2-2ay+a^2}{3}$
となり， $x=y$ ， $z=\sqrt{2}|x|$ が成立し， $2x^2=\dfrac{2x^2-2ax+a^2}{3}$ ，つまり $4x^2+2ax-a^2=0$ が成立する．

よって $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}a$ となり，塔の高さは $z=\sqrt{2}|x|=\dfrac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{10}}{4}a$ となる．

$z\geqq 0$ の範囲において
$\mbox{A}$ を頂点とし，軸が $z$ 軸に平行で頂角が $45^{\circ}$ の円錐…①，
$\mbox{B}$ を頂点とし，軸が $z$ 軸に平行で頂角が $60^{\circ}$ の円錐…②，
$\mbox{C}$ を頂点とし，軸が $z$ 軸に平行で頂角が $60^{\circ}$ の円錐…③
の全てを通る点を求めることになります．②と③が平面 $x=y$ について対称であることからその交点は②と $x=y$ の交線である放物線…④上にあり，これと①と平面 $x=y$ の交線である直線 $\sqrt{2}x=\sqrt{2}y=z$ の交点が塔の頂きの位置です．