https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Bunkei

2026.02.14.13:07:12記

[3] 平面内の $1$ 点 $(a，b)$ から曲線 $y=x^2$ に何本の接線が引けるか．

2026.02.20.13:33:04記
答が $b\gt a^2$ のとき $0$ 本， $b=a^2$ のとき $1$ 本， $b\lt a^2$ のとき $2$ 本，となるのは明らかです．

[解答]
$y=x^2$ には二重接線が存在しないので $y=x^2$ の接線と接点は一対一対応する．

$y=x^2$ の $x=t$ における接線の方程式は $y=x^2-(x-t)^2=2tx-t^2$ であり，これが $(a，b)$ を通る条件は $t^2-2at+b=0$ である．この二次方程式の実数解の個数（重解は $1$ つと数える）が接線の本数に一致する．

この二次方程式の判別式が $4(a^2-b)$ であることから， $b\gt a^2$ のとき $0$ 本， $b=a^2$ のとき $1$ 本， $b\lt a^2$ のとき $2$ 本となる．