https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1967/Bunkei

2026.02.14.13:07:12記

[1] (i) $x$ についての方程式 $x(x-3)(x+3)+3k(x-1)(x+1)=0$ $(k\gt 0)$ は $3$ 実根をもつことを証明せよ．

(ii) 上の方程式の正の根はただ $1$ つで， $1$ と $\displaystyle 1+\dfrac{2}{k}$ との間にあることを証明せよ．

[2] 複素数 $Z=x+iy$ ( $x$ ， $y$ は実数， $i$ は虚数単位)が次の(i)または(ii)をみたすように $x$ ， $y$ を定めよ．

(i) $Z^2=i$

(ii) $Z^2-4iZ+(-4+2i)=0$

[3] 平面内の $1$ 点 $(a，b)$ から曲線 $y=x^2$ に何本の接線が引けるか．

[4] 次の $\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ の中に適当な数または式を入れよ．また(イ)〜(ホ)の「」で囲まれた文章の理由を，最後の(イ)〜(ホ)の解答のところで述べよ．

方程式 $x^2-3y^2=1$ をみたす整数の組 $(x，y)$ を求めることを考える．（以下この方程式の整数解を単に解と略称する．）準備のために次のことを確かめておく．

(イ) 「 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ が整数であって， $a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}$ ならば， $a=c$ ， $b=d$ である」

次に $(x，y)$ が解であれば， $(x，-y)$ ， $(-x，y)$ ， $(-x，-y)$ も解であることは，方程式(1)により明らかであるから， $(x，y)$ が共に負でない解を求めることが基本的である．それでそのような解を求める手段として $(2+\sqrt{3})^n=x_n+y_n\sqrt{3}$ ，（ $x_n$ ， $y_n$ は負でない整数， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ ）とおく．そうすると(イ)によって，

$x_0=1$ ， $y_0=0$ ， $x_1=2$ ， $y_1=1$

$x_2=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ， $y_2=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ， $x_3=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ， $y_3=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ である．

一方， $(2+\sqrt{3})^2$ と $(2-\sqrt{3})^2$ ， $(2+\sqrt{3})^3$ と $(2-\sqrt{3})^3$ などを比較することによって，一般に $(2-\sqrt{3})^n=x_n-y_n\sqrt{3}$ ， $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ であることがわかる．

(2)と(4)と， $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$ とを使って， $1=(2+\sqrt{3})^n(2-\sqrt{3})^n=x_n^2-3y_n^2$ となるから，(2)で定まる $(x_n$ ， $y_n)$ は方程式(1)の解であることがわかる．とくに， $x$ ， $y$ の一方が $0$ となるような負でない解は，明かに $x=1$ ， $y=0$ で，それは(3)の $(x_0$ ， $y_0)$ に外ならない．

次に $(x_{n-1}$ ， $y_{n-1})$ と $(x_n$ ， $y_n)$ との関係を求めてみる（ $n \geqq 1$ ）．

$x_n+y_n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^n=(x_{n-1}+y_{n-1}\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$
ゆえに， $x_n=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$ ， $y_n=\fbox{$\phantom{　　　　　}$}$

したがって $(x_0，y_0)$ から出発して，負でない解 $(x_1，y_1)$ ， $(x_2，y_2)$ ， $\cdots\cdots$ ， $(x_n，y_n)$ ， $\cdots\cdots$ を順次求めて行くことができる．しかも $y_1\lt y_2\lt y_3\lt \cdots\cdots$ である．

以上のことで負でない解を多数みつけたのであるが，これらで負でない解が尽くされているかどうかを次に吟味する．

いま任意の正の解 $(x，y)$ ，（ $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ ）をとると，
$(x+\sqrt{3}y)(2-\sqrt{3})=(2x-3y)+(2y-x)\sqrt{3}$

(ロ) 「 $x'=2x-3y$ ， $y'=2y-x$ とおくとき， $(x'，y')$ も解である」

(ハ) 「そして $x\gt x'\gt 0$ ， $y\gt y'\geqq0$ である」

(ニ) 「それで，任意の正の解 $(x，y)$ から出発して，(ロ)における $(x'，y')$ を求める操作を順次行なうことによって，(3)に示す負でない解 $(x_0，y_0)$ に達する」

(ホ) 「したがって，任意の負でない解 $(x，y)$ は式(2)によって定まる $(x_n，y_n)$ $(n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots)$ のどれか $1$ つである．」

[5] （新課程）以下は平面内の問題である． $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は定点で， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は $1$ 直線上にないものとする．

(i) 点 $\mbox{P}$ が直線 $\mbox{AB}$ 上にあるための必要十分条件は
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ， $a+b=1$ （ $a$ ， $b$ は実数）と書けることである．これを証明せよ．

(ii) 次の $2$ 条件をみたす実数 $p$ ， $q$ ， $r$ は $p=0$ ， $q=0$ ， $r=0$ 以外にないことを示せ．
$p\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}+r\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$ （零ベクトル）， $p+q+r=0$

(iii) $\mbox{Q}$ がこの平面上の点であって，
$\overrightarrow{\mbox{AQ}}=x\overrightarrow{\mbox{AB}}+y\overrightarrow{\mbox{AC}}$
（ $x$ ， $y$ は実数）であるとき，
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}=l\overrightarrow{\mbox{OA}}+m\overrightarrow{\mbox{OB}}+n\overrightarrow{\mbox{OC}}$ ， $l+m+n=1$
をみたす実数 $l$ ， $m$ ， $n$ は必ず存在し，しかもおのおのの値はただ $1$ つに定まることを証明せよ．

[5] （旧課程）水平面上に $3$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ があり， $\angle \mbox{BAC}={90}^{\circ}$ ， $\mbox{AC}=\mbox{AB}=a$ である．ある塔の頂をながめたら， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ からの仰角はそれぞれ ${45}^{\circ}$ ， ${30}^{\circ}$ ， ${30}^{\circ}$ であった．塔の高さを $a$ で表わせ．

[6] （新課程） $3$ 人乗りのボートが $2$ つある． $4$ 人の人をそれらに分乗させるしかたが幾通りあるか．次のおのおのの場合に求めよ．

(i) 人もボートも区別しないで，人数の分け方だけを考えるとき，

(ii) 人は区別しないが，ボートは区別するとき，

(iii) ボートも人も区別を考えるが，どの座席につくかは区別しないとき，

(iv) ボートも区別し，どの人がどの座席につくかも区別するとき．

[6] （旧課程）(i) $c$ ， $d$ は正の実数であるとして，函数(関数) $\displaystyle f(t)=\dfrac{c^2t^2+d^2}{t}$ を $t\gt 0$ の範囲で考える． $\displaystyle t=\dfrac{d}{c}$ のとき $f(t)$ は最小値となることを証明せよ．

(ii) 平面上の第1象限内に点 $\mbox{P}(a，b)$ をとる． $\mbox{P}$ を通る直線 $l$ を， $x$ 軸， $y$ 軸と正の部分で交わるようにとり，その交点をそれぞれ $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする． $\triangle\mbox{OAB}$ の面積が最小となるような $l$ の傾きを， $a$ ， $b$ を使って表わせ． $\mbox{O}$ は座標原点である．