https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_old

2026.02.02.10:26:47記

[6] 正数列 $a_0$ ， $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_n$ ， $\cdots\cdots$ で条件

( $\ast$ ) $a_0=1$ ， $a_n-a_{n+1}=a_{n+2}$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ ）

を満たすものは一組しかないことを，次の順序で証明せよ．

(i) $\displaystyle a_n=\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ は条件( $\ast$ )を満たす．

(ii) 条件( $\ast$ )を満たす任意の数列 $\{ {a'}_n \}$ について，
数列 $c_n={(-1)}^n({a'}_n-a_n)$ $(n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots)$ は $c_n+c_{n+1}=c_{n+2}$ および $|c_n|\geqq(n-1)|c_1|$ を満たす．

(iii) (ii)の数列 $\{ {a'}_n \}$ が正数列ならば， ${a'}_n\leqq1$ ，かつ， ${a'}_n=a_n$ でなければならない．

2026.02.12.00:19:48記
漸化式 $a_n-a_{n+1}=a_{n+2}$ の一般解は $A\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^n+B\left( \dfrac{-\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ となり， $n$ が十分大きいと公比の絶対値が $1$ 未満である等比数列 $\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ の部分はほぼ $0$ となり，公比が $-1$ より小さい等比数列 $\left(\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ の部分が主要項となり，この部分は正負を繰り返します．よって $B\neq 0$ の場合，十分大きな $n$ に対して $a_n$ は正負を繰り返すこととなり，正数列であることに矛盾します．よって $B=0$ となり， $a_0=1$ から $a_n=\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ に限ることがわかります．

[解答]
(i) $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ とおくと $x^2+x-1=0$ が成立し， $a_n=x^n$ である．このとき $a_0=x^0=1$ ， $a_{n+2}+a_{n+1}-a_n=x^n(x^2+x-1)=0$ であるから条件( $\ast$ )を満たす．

(ii) $b_n=a'_n-a_n$ とおくと $b_0=0$ ， $b_{n+2}+b_{n+1}-b_n=0$ を満たすので $c_n=(-1)^nb_n$ は $c_0=0$ ， $c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$ を満たす．よって $c_2=c_1$ ， $c_3=c_1+c_2=2c_1$ ， $c_4=c_2+c_3=3c_1$ ， $c_5=c_3+c_4=5c_1$ ，…となり， $c_2，c_3，…$ の符号はすべて $c_1$ の符号と一致し（ $c_1=0$ の場合は $c_2，c_3，…$ はすべて $0$ ），よって任意の非負整数 $n$ に対して
$|c_{n+2}|=|c_{n+1}|+|c_{n}|$ が成立する．

(a) $n=0，1，2，3$ のとき $|c_0|=0\geqq -1|c_1|$ ， $|c_1|\geqq 0|c_1|$ ， $|c_2|=|c_0|+|c_1|=|c_1|\geqq 1|c_1|$ ， $|c_3|=|c_1|+|c_2|=2|c_1|\geqq 2|c_1|$ ，により $|c_n|\geqq (n-1)|c_1|$ が成立する．

(b) $n=k，k-1$ （ $k\geqq 3$ ）のときに $|c_k|\geqq (k-1)|c_1|$ ， $|c_{k-1}|\geqq (k-2)|c_1|$ が成立することを仮定すると，
$|c_{k+1}|\geqq (2k-3)|c_1|=\{k+(k-3)\}|c_1|\geqq k|c_1|$ （∵ $k\geqq 3$ ）
により $n=k+1$ のときも成立する．

よって数学的帰納法により任意の非負整数 $n$ に対して $|c_n|\geqq(n-1)|c_1|$ が成立する．

(iii) $a'_n-a'_{n+1}=a'_{n+2}\gt 0$ であるから， $\{a'_n\}$ は単調減少となり，正数列であることから $0\lt a'_n\leqq a’_0=1$ である．また $\{a_n\}$ は第 $0$ 項が $1$ で公比が正で $1$ 未満の等比数列であるから， $0\lt a_n\leqq a_0=1$ となる．よって任意の非負整数に対して $|c_n|\leqq 1$ が成立する．

ここで $c_1\neq 0$ と仮定すると $1\geqq |c_n|\geqq (n-1)|c_1|$ が任意の非負整数 $n$ で成立することとなって矛盾するので， $c_1=0$ でなければならない．

このとき，漸化式 $c_0=c_1=0$ ， $c_{n+1}=c_{n+1}+c_n$ を満たす数列は任意の非負整数 $n$ で $c_n=0$ となるものに限るので，任意の非負整数 $n$ に対して $a'_n=a_n$ が成立する．

帰納法で不等式を示すときの基本は左辺と右辺の変化量の比較ですから， $|c_{n+1}|-|c_n|\geqq |c_1|$ を示すことが目標となり，よって漸化式から $|c_{n-1}|\geqq |c_1|$ であれば良いことがわかり， $n\geqq 3$ ならば帰納法の仮定から $|c_{n-1}|\geqq (n-2)|c_1|\geqq |c_1|$ となるので，帰納法を用いるときは $n=3$ が出発点となるのです．

なお， $F_0=0$ ， $F_1=1$ ， $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ なるフィボナッチ数列 $\{F_n\}$ を用いて $c_n=F_n c_1$ となります．