https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_old

2026.02.02.10:26:47記

[5] 二次方程式 $x(x-a)+m(x-b)(x-c)=0$ が $m$ のすべての正の値に対して実根をもつための必要十分条件を $a$ ， $b$ ， $c$ の大小関係によって表わせ．ただし $a$ ， $b$ ， $c$ は相異なる正数とする．

2026.02.11.23:26:45記
定数分離をして， $y=f(x)=-\dfrac{x(x-a)}{(x-b)(x-c)}$ の値域を考えるのは素朴な考え方ですが難しいです． $\min\{b，c\}\lt a$ （ $a\neq\max\{b，c\}$ ）の場合に $\min\{a，\max\{b，c\}\}\lt x\lt \max\{a，\max\{b，c\}\}$ の値域が $0\lt y(\lt +\infty)$ となることは面倒ではありませんが， $0\lt a\lt \min\{b，c\}$ の場合に不適であることを言うのは面倒です．

[解答]
$B=\min\{b，c\}$ ， $C=\max\{b，c\}$ として $y=p(x)=x(x-a)$ と $y=q(x)=-m(x-B)(x-C)$ が交わるかどうか考える．

(i) $B\lt a$ のとき：
$p(0)=0$ ， $q(0)=-mBC\lt 0$ より $p(0)\gt q(0)$ ， $p(B)=B(B-a)\lt 0$ ， $q(B)=0$ より $p(0)\lt q(0)$ だから $y=p(x)$ と $y=q(x)$ は交わる．

(ii) $0\lt a\lt B$ のとき：
$(x-a)^2\geqq 0$ から $p(x)\geqq a(x-a)$ であり， $(x-B)^2\geqq 0$ から $(x-B)(x-C)\geqq (B-C)(x-B)$ となるので $q(x)\leqq -m(B-C)(x-B)$ である．よって $m=\dfrac{a}{C-B}$ とおくと，任意の実数 $x$ に対して $p(x)\geqq a(x-a)\gt a(x-B)\geqq q(x)$ が成立し， $y=p(x)$ と $y=q(x)$ は交わらない．

以上から，求める条件は「 $\min\{b，c\}\lt a$ かつ $a\neq\max\{b，c\}$ 」となる．

$m$ の求め方が恣意的に思えるかも知れませんが， $y=p(x)$ と $y=q(x)$ の相似の中心が $x$ 軸上にあるような $m$ を求めると $m=\dfrac{a}{C-B}$ となります．そしてこのとき， $y=p(x)$ の $x=a$ における接線と， $y=q(x)$ の $x=b$ における接線は平行となるので[解答]のように $p(x)\gt q(x)$ が簡単に言えるのです．下に凸な放物線と上に凸な放物線が共有点をもつかどうかは相似の中心が放物線の内側か外側かを考えればわかるというお話です．