https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_old

2026.02.02.10:26:47記

[4] 平面上に，どの $3$ 点も正三角形をつくらない相異なる $4$ 点がある．これらを結ぶ $6$ 本の線分のうち， $3$ 本の長さは $1$ であり，他の $3$ 本の長さは $a$ であるという． $a$ の値を求めよ．

2026.02.11.23:20:58記
「 $3$ 辺の長さが $1$ ， $a$ ， $a$ の三角形と「 $3$ 辺の長さが $1$ ， $1$ ， $a$ の三角形」を貼り合わせて等脚台形を作るイメージです．

[解答]
（ $a=1$ とすると $6$ 本の線分の長さがすべて $1$ となり正三角形を作ってしまうので題意に反するので） $a\neq 1$ である．また，ある $a$ について題意が成立すれば，全体を $\dfrac{1}{a}$ 倍に拡大することにより　 $\dfrac{1}{a}$ でも成立するので， $a\gt 1$ の場合について考えれば十分である．

さて，ある $3$ 点が同一直線上にあると仮定すると， $2$ 点間の距離は $2$ 種類のみなので，その $3$ 点は等間隔に並ぶ必要があり，このとき $a=2$ となるが， $3$ 点を結ぶ $3$ 本の線分の長さが $1$ または $2$ でかつ正三角形でない配置は，線分の長さが $1$ ， $1$ ， $2$ となる $3$ 点が同一直線上に距離 $1$ で等間隔に並ぶ配置しか存在せず，すると異なる $4$ 点が同一直線上に等間隔になければならないが，その場合，両端の $2$ 点を結ぶ線分の長さが $3$ となり矛盾するので，どの $3$ 点も同一直線上になく三角形を作る．

このときどの $3$ 点の位置関係も「 $3$ 辺の長さが $1$ ， $a$ ， $a$ の二等辺三角形」…①または「 $3$ 辺の長さが $1$ ， $1$ ， $a$ の二等辺三角形」…②となる．

ある $3$ 点の位置関係が①②のいずれにせよ，残りの $1$ 点はこの三角形の頂点から距離 $a$ の位置にあるので残りの $1$ 点はこの三角形の外部にあり，よって $4$ 点はある凸四角形の頂点となる．

ここで，この凸四角形が正方形であると仮定すると同じ線分の長さは $3$ つという条件に反するので，この凸四角形は正方形ではなく，よって凸四角形には鈍角が存在する．

$a\gt 1$ のときには①は鋭角三角形であるから②は鈍角三角形であり，よって $\sqrt{2}\lt a\lt 2$ が成立し，凸四角形の鈍角をなす頂点とその両隣の頂点からなる三角形は②でなければならない．そしてこの三角形の長さ $a$ である辺は凸四角形の対角線となるが，この対角線に①または②をつなげて凸四角形を作るときに②をつなげると菱形となり同じ線分の長さが $3$ 本であるという条件に反するので，つなげる三角形は①でなければならない．このとき凸四角形の $4$ 辺の長さは $1$ ， $1$ ， $1$ ， $a$ となる等脚台形であり，対角線の長さはともに $a$ で等しくなる．

等脚台形を対角線で分けた $4$ つの三角形の上底と下底を含む二等辺三角形の相似を利用して $a$ に関する条件を求めると $a:1=1:a-1$ となり， $a\gt 1$ から $a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ となる．このとき，
$a\lt 1$ なる $a$ の値は $\dfrac{1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$ $=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ となる．

以上から $a=\dfrac{\sqrt{5}\pm 1}{2}$ である．