https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_old

2026.02.02.10:26:47記

[1] 方程式 $x^3+x-8=0$ は

(i) ただ一つの実根を， $1$ と $2$ との間にもつことを示せ．

(ii) この根は無理数であることを証明せよ．

[2] (i) 平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ が与えられている．この中に最大面積の三角形 $\mbox{PQR}$ がはいっている． $\triangle\mbox{PQR}$ の位置について，次のことを証明せよ．

(イ) 頂点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ は平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ の周上にある．

(ロ) $\triangle\mbox{PQR}$ の少なくとも一辺は，平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ の一辺と一致する．

(ii) 面積が $1$ の三角形は，面積が $2$ より小さい平行四辺形の中には，はいらないことを証明せよ．

[3] $f(x)=x^3-6x^2+8$ とし， $0 \leqq x \leqq r$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(r)$ とするとき，積分 $\displaystyle\int_0^5M(r)\,dr$ を求めよ．

[4] 平面上に，どの $3$ 点も正三角形をつくらない相異なる $4$ 点がある．これらを結ぶ $6$ 本の線分のうち， $3$ 本の長さは $1$ であり，他の $3$ 本の長さは $a$ であるという． $a$ の値を求めよ．

[5] 二次方程式 $x(x-a)+m(x-b)(x-c)=0$ が $m$ のすべての正の値に対して実根をもつための必要十分条件を $a$ ， $b$ ， $c$ の大小関係によって表わせ．ただし $a$ ， $b$ ， $c$ は相異なる正数とする．

[6] 正数列 $a_0$ ， $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_n$ ， $\cdots\cdots$ で条件

( $\ast$ ) $a_0=1$ ， $a_n-a_{n+1}=a_{n+2}$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots$ ）

を満たすものは一組しかないことを，次の順序で証明せよ．

(i) $\displaystyle a_n=\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^n$ は条件( $\ast$ )を満たす．

(ii) 条件( $\ast$ )を満たす任意の数列 $\{ {a'}_n \}$ について，
数列 $c_n={(-1)}^n({a'}_n-a_n)$ $(n=0$ ， $1$ ， $2$ ， $\cdots\cdots)$ は $c_n+c_{n+1}=c_{n+2}$ および $|c_n|\geqq(n-1)|c_1|$ を満たす．

(iii) (ii)の数列 $\{ {a'}_n \}$ が正数列ならば， ${a'}_n\leqq1$ ，かつ， ${a'}_n=a_n$ でなければならない．

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