https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_new

2026.02.02.10:13:13記

[6] 正 $n$ 角形の頂点を順次 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\cdots$ ， $\mbox{A}_n$ とする．

(i) これらのうちの任意の $3$ 点を結んでできる三角形の総数を求めよ．

(ii) 上の三角形のうちで鋭角三角形になるものの総数を求めよ．

2026.02.08.22:45:29記
三角形には $90^{\circ}$ 以上の角度は高々一つですから，直角三角形または鈍角三角形の数を数えるのは比較的簡単（ダブルカウントされにくい）です．(i)で三角形の総数を求めさせたのは，(ii)を求めるために(i)から直角三角形または鈍角三角形の総数を引きましょう，というヒントです．

[解答]
(i) ${}_n\mbox{C}_3$ 個である．

(ii) $\mbox{A}_n$ が直角または鈍角である三角形の個数を考える．ここで $\mbox{A}_n$ を一端とする直径の片側（直径の他端を含む）には $\left[\dfrac{n}{2}\right]$ 個の頂点があることに注意しておく．

$\mbox{A}_1$ を頂点とするものは $\left[\dfrac{n}{2}\right]-1$ 個， $\mbox{A}_2$ を頂点とするものは $\left[\dfrac{n}{2}\right]-2$ 個，…

と考えることにより求める $\mbox{A}_n$ が直角または鈍角である三角形の個数は $\dfrac{\left[\dfrac{n}{2}\right]\left(\left[\dfrac{n}{2}\right]-1\right)}{2}$ 個である．他の頂点が直角または鈍角である三角形の個数も同様であるから，直角三角形または鈍角三角形であるものの総数は $\dfrac{\left[\dfrac{n}{2}\right]\left(\left[\dfrac{n}{2}\right]-1\right)n}{2}$ 個である．よって鋭角三角形の総数は
よって鋭角三角形の個数は
${}_n\mbox{C}_3-\dfrac{\left[\dfrac{n}{2}\right]\left(\left[\dfrac{n}{2}\right]-1\right)n}{2}$ $=\dfrac{n}{6}\left\{ (n-1)(n-2)-3\left[\dfrac{n}{2}\right]\left(\left[\dfrac{n}{2}\right]-1\right)\right\}$ 個である．

$n$ が偶数なら $\left[\dfrac{n}{2}\right]=\dfrac{n}{2}$ より $\dfrac{n(n-2)(n-4)}{24}$ 個となり，
$n$ が奇数なら $\left[\dfrac{n}{2}\right]=\dfrac{n-1}{2}$ より $\dfrac{n(n^2-1)}{24}$ 個となる．