https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_new

2026.02.02.10:13:13記

[5] $a\gt 1$ とし， $u=a^{x+y}$ ， $v=a^{2x-y}$ とおく． $x$ ， $y$ 平面上の点 $\mbox{P}(x，y)$ が正方形 $\mbox{ABCD}$ の周に沿って一周するとき， $u$ ， $v$ 平面上で対応する点 $\mbox{Q}(u，v)$ がえがく軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし $\mbox{A}(1，1)$ ， $\mbox{B}(-1，1)$ ， $\mbox{C}(-1，-1)$ ， $\mbox{D}(1，-1)$ とする．

2026.02.08.22:31:40記

[大人の解答]
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=(\log a)u$ ， $\dfrac{\partial u}{\partial y}=(\log a)u$ ， $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2(\log a)v$ ， $\dfrac{\partial v}{\partial y}=-(\log a)v$ により $dudv=3(\log a)^2uv \, dxdy$ であるから，求める面積は
$\displaystyle\int_{\mbox{正方形ABCD}}\, dudv$ $=\displaystyle\int_{x=-1}^1\int_{y=-1}^13(\log a)^2a^{3x}dxdy$ $=2(\log a)(a^3-a^{-3})$
となる．

[解答]
$uv=a^{3x}$ ， $\dfrac{u^2}{v}=a^{3y}$ であるから
$\dfrac{a^{-3}}{u}\leqq v\leqq \dfrac{a^{3}}{u}$ ， $a^{-3}u^2\leqq v\leqq a^{3}u^2$
で表される $uv$ 平面の領域の面積を求めれば良い．

境界をなす曲線の交点が
$(u，v)$ $=(a^{-2}，a^{-1})$ ， $(1，a^{3})$ ， $(1，a^{-3})$ ， $(a^{2}，a)$
となることに注意すると，求める面積は
$\displaystyle\int_{a^{-2}}^{1}\left(a^3u^2-\dfrac{a^{-3}}{u}\right)\,du$ $+\displaystyle\int_{1}^{a^{2}}\left(\dfrac{a^{3}}{u}-a^{-3}u^2\right)\,du$ $=\Bigl[\dfrac{a^3u^3}{3}-a^{-3}\log u\Bigr]_{a^{-2}}^1$ $+\Bigl[a^{3}\log u\dfrac{a^{-3}u^3}{3}\Bigr]_1^{a^{2}}$ $=2(\log a)(a^3-a^{-3})$
となる．