https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_new

2026.02.02.10:13:13記

[4] 平面上で，距離 $a$ の $2$ 定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を始点とする単位ベクトル（大きさが $1$ のベクトル） $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BQ}}$ がそれぞれ始点のまわりに同じ向きに回転運動をなし， $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BQ}}$ の $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ から測った回転角はそれぞれ $2\theta$ ， $\theta$ である． $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ の大きさの最大値を $a$ で表わせ．

本問のテーマ

外トロコイド（epitrochoid，外余擺線）

2026.02.07.01:04:22記
$\overrightarrow{\mbox{AP}}=(-1，0)$ ， $\overrightarrow{\mbox{BQ}}=(1，0)$ と同時になることはできないので，最大値が $a+2$ となることはありません．

$(\cos\theta-\cos2\theta，\sin\theta-\sin2\theta)$ の描く曲線は外トロコイドと呼ばれます．半径 $\dfrac{1}{2}$ の円の外側に半径 $\dfrac{1}{2}$ の円をすべらずに動かすとき，外側の円の中心から距離 $1$ にある点の軌跡となります．本問の場合， $(-a，0)$ とこの外トロコイドとの距離が最大になる点を探すことになります．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ $=\begin{pmatrix} a+\cos\theta-\cos2\theta\\ \sin\theta-\sin2\theta \end{pmatrix}$ であり，
$f(\theta)=|\overrightarrow{\mbox{PQ}}|^2$ $=-4a\cos^2\theta+2(a-1)\cos\theta+a^2+2a+2$ $=-4a\left(\cos\theta-\dfrac{a-1}{4a}\right)^2+\dfrac{4a^3+9a^2+6a+1}{4a}$
であるから， $-1\leqq \dfrac{a-1}{4a}\leqq 1$ ，つまり $-5a+1\leqq 0 \leqq 3a+1$ を経て $a\geqq\dfrac{1}{5}$ のとき $\cos\theta=\dfrac{a-1}{4a}$ で最大値 $\dfrac{4a^3+9a^2+6a+1}{4a}$ をとり， $0\lt a\leqq\dfrac{1}{5}$ のとき $\cos\theta=-1$ で最大値 $a^2-4a+4$ をとる．

よって最大値は
$0\lt a\leqq\dfrac{1}{5}$ のとき $2-a$ ，
$a\geqq\dfrac{1}{5}$ のとき $\sqrt{\dfrac{4a^3+9a^2+6a+1}{4a}}$
となる．