https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_new

2026.02.02.10:13:13記

[1] 方程式 $x^3+x-8=0$ は

(i) ただ一つの実根を， $1$ と $2$ との間にもつことを示せ．

(ii) この根は無理数であることを証明せよ．

2026.02.02.10:53:38記

[解答]
$f(x)=x^3+x-8$ とおくと $f'(x)=3x^2+1\gt 0$ より $f(x)$ は単調増加である．

$f(1)=-6\lt 0$ ， $f(2)=2\gt 0$ であるから，ただ一つの実数解を， $1$ と $2$ の間にもつ．

(ii) この実数解を有理数 $\dfrac{p}{q}$ （ $p$ ， $q$ は自然数で互いに素）と仮定すると $p^3=q^2(8q-p)$ が成立し，左辺は $q$ で割り切れることになるが， $p$ ， $q$ は自然数で互いに素であるから $q=1$ ，つまりこの実数解が整数解となり(i)の結果に反して矛盾する．よってこの実数解は無理数である．

最高次の係数が $1$ の多項式をモニック多項式といいます．正数係数モニック多項式が有理数解を持てば，それは整数解であることを本問と同様に示すことができます．