https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Rikei_new

2026.02.02.10:13:13記

[1] 方程式 $x^3+x-8=0$ は

(i) ただ一つの実根を， $1$ と $2$ との間にもつことを示せ．

(ii) この根は無理数であることを証明せよ．

[2] (i) 平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ が与えられている．この中に最大面積の三角形 $\mbox{PQR}$ がはいっている． $\triangle\mbox{PQR}$ の位置について，次のことを証明せよ．

(イ) 頂点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ は平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ の周上にある．

(ロ) $\triangle\mbox{PQR}$ の少なくとも一辺は，平行四辺形 $\mbox{ABCD}$ の一辺と一致する．

(ii) 面積が $1$ の三角形は，面積が $2$ より小さい平行四辺形の中には，はいらないことを証明せよ．

[3] 平地に $3$ 本のテレビ塔がある．ひとりの男がこの平地の異なる3地点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ に立って，その先端を眺めたところ，どの地点でもそのうちの二つの先端が重なって見えた．このとき， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ は一直線上になければならない．この理由を述べよ．

[4] 平面上で，距離 $a$ の $2$ 定点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を始点とする単位ベクトル（大きさが $1$ のベクトル） $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BQ}}$ がそれぞれ始点のまわりに同じ向きに回転運動をなし， $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{BQ}}$ の $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ から測った回転角はそれぞれ $2\theta$ ， $\theta$ である． $\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ の大きさの最大値を $a$ で表わせ．

[5] $a\gt 1$ とし， $u=a^{x+y}$ ， $v=a^{2x-y}$ とおく． $x$ ， $y$ 平面上の点 $\mbox{P}(x，y)$ が正方形 $\mbox{ABCD}$ の周に沿って一周するとき， $u$ ， $v$ 平面上で対応する点 $\mbox{Q}(u，v)$ がえがく軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし $\mbox{A}(1，1)$ ， $\mbox{B}(-1，1)$ ， $\mbox{C}(-1，-1)$ ， $\mbox{D}(1，-1)$ とする．