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1966年(昭和41年)京都大学-数学(文系(B型))旧課程[5]

2026.02.02.10:31:08記

[5] (i) $x$ ， $y$ 平面において， $|2x^2+y|=8-|y|$ のグラフをかけ．
(ii) このグラフで囲まれた図形の面積が直線 $x+y=k$ によって二等分されるとき， $-2\lt k\lt 0$ であることを証明せよ．

2026.02.12.00:24:05記

[解答]
(i) $2x^2+y\geqq 0$ ， $y\geqq 0$ のとき $2x^2+y=8-y$ から $y=-x^2+4$ ，

$2x^2+y\leqq 0$ ， $y\geqq 0$ のとき $-2x^2-y=8-y$ から空集合，

$2x^2+y\geqq 0$ ， $y\leqq 0$ のとき $2x^2+y=8+y$ から $x=\pm 2$ ，

$2x^2+y\leqq 0$ ， $y\leqq 0$ のとき $-2x^2-y=8+y$ から $y=-x^2-4$

となる（図示略）．

(ii) (i)のグラフの面積は $8\times 4=32$ となる．また，この図形の $x+y\geqq k$ の部分の面積を $S(k)$ とすると $S(k)$ は単調減少である．ここで $S(-2)=8+\dfrac{4^3}{6}=18+\dfrac{2}{3}\gt 16$ であり，放物線弧で囲まれる部分を正方形にすると面積が増えることから台形で評価して $S(0)\lt \dfrac{2+6}{2}\times 4=16$ となるので中間値の定理から $-2\lt k\lt 0$ に $S(k)=16$ となるものが唯一存在する．

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