1966年(昭和41年)京都大学-数学(文系(B型))旧課程

(i) ただ一つの実根を， と との間にもつことを示せ．

(ii) この根は無理数であることを証明せよ．

[2] (i) 平行四辺形 が与えられている．この中に最大面積の三角形 がはいっている． の位置について，次のことを証明せよ．

(イ) 頂点 ，， は平行四辺形 の周上にある．

(ロ) の少なくとも一辺は，平行四辺形 の一辺と一致する．

(ii) 面積が の三角形は，面積が より小さい平行四辺形の中には，はいらないことを証明せよ．

[3] 平面上に，どの 点も正三角形をつくらない相異なる 点がある．これらを結ぶ 本の線分のうち， 本の長さは であり，他の 本の長さは であるという． の値を求めよ．

[4] 二次方程式 が のすべての正の値に対して実根をもつための必要十分条件を ，， の大小関係によって表わせ．ただし ，， は相異なる正数とする．

[5] (i) ， 平面において， のグラフをかけ．
(ii) このグラフで囲まれた図形の面積が直線 によって二等分されるとき， であることを証明せよ．

[6] 三角形 において， は鋭角， とし，辺 の中点を ， とする．そのとき

(i) 等式 を示せ．

(ii) 不等式 を証明せよ．