https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Bunkei_new

2026.02.02.10:16:43記

[6] 三角形 $\mbox{ABC}$ において， $\angle \mbox{BAC}=\alpha$ は鋭角， $\mbox{AB}=2\mbox{AC}$ とし，辺 $\mbox{BC}$ の中点を $\mbox{D}$ ， $\angle \mbox{BAD}=\delta$ とする．そのとき

(i) 等式 $\sin(\alpha-\delta)=2\sin\delta$ を示せ．

(ii) 不等式 $3\delta\lt \alpha\lt 4\delta$ を証明せよ．

2026.02.11.22:56記
(ii)において $\sin(\alpha-\delta)$ ， $=2\sin\delta\gt \sin2\delta$ から即座に $\alpha-\delta\gt 2\delta$ と結論したくなりますが，そのためには $2\delta$ が鋭角であることを示す必要があります．

[解答]
(i) $\dfrac{1}{2}\mbox{AB}\cdot\mbox{AD}\sin\delta$ $=\triangle\mbox{ABD}$ $=\triangle\mbox{ACD}$ $=\dfrac{1}{2}\mbox{AC}\cdot\mbox{AD}\sin(\alpha-\delta)$ であるから， $\mbox{AB}=2\mbox{AC}$ により $\sin(\alpha-\delta)=2\sin\delta$ が成立する．

(ii) $\sin(\alpha-\delta)$ $=2\sin\delta\gt \sin\delta$ であり， $\alpha-\delta$ ， $\delta$ は鋭角であるから $\alpha-\delta\gt \delta$ ，つまり $\alpha\gt 2\delta$ が成立する．ここで $\alpha$ は鋭角であるから $2\delta$ も鋭角である．

$\sin(\alpha-\delta)$ $=2\sin\delta\gt 2\sin\delta\cos\delta=\sin2\delta$ であり， $\alpha-\delta$ ， $2\delta$ は鋭角であるから $\alpha-\delta\gt 2\delta$ ，つまり $\alpha\gt 3\delta$ が成立する．ここで $\alpha$ は鋭角であるから $\alpha-2\delta(\gt \delta)$ も鋭角である．

$\sin(\alpha-2\delta)$ $=\sin(\alpha-\delta)\cos\delta$ $-\cos(\alpha-\delta)\sin\delta$ $\lt \sin(\alpha-\delta)\cos\delta$
$=2\sin\delta\cos\delta$ $=\sin2\delta$ であり， $\alpha-2\delta$ ， $2\delta$ は鋭角であるから $\alpha-2\delta\lt 2\delta$ ，つまり $\alpha\lt 4\delta$ が成立する．

以上から $3\delta\lt \alpha\lt 4\delta$ が成立する．

結局は $3\delta$ も鋭角となることから， $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ のときに $\sin2\delta\lt2\sin\delta=\sin(\alpha-\delta)\lt\sin3\delta$ を示せば良いことになります．

[別解]
(i) 正弦定理から $\dfrac{\mbox{AB}}{\sin\angle\mbox{ADB}}$ $=\dfrac{\mbox{BD}}{\sin\delta}$ ， $\dfrac{\mbox{AC}}{\sin\angle\mbox{ADC}}$ $=\dfrac{\mbox{CD}}{\sin(\alpha-\delta)}$ であり，
$\mbox{AB}=2\mbox{AC}$ ， $\mbox{BD}=\mbox{CD}$ ， $\angle\mbox{ADB}=\pi-\angle\mbox{ADC}$
であるから $\sin(\alpha-\delta)=2\sin\delta$ が成立する．

(ii) $\beta=\alpha-\delta$ とおくと， $\beta，\delta\gt 0$ ， $\beta+\delta\lt \dfrac{\pi}{2}$ ， $\sin\beta=2\sin\delta$ のとき， $2\delta\lt \beta\lt 3\delta$ が成り立つことを示せば良い．
ここで $3\delta$ は鋭角により $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ である．

$2\sin\delta-\sin 2\delta=2\sin\delta(1-\cos\delta)\gt 0$ であり， $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ から $\dfrac{1}{4}\lt \cos^2\delta\lt 1$ となるので $\sin 3\delta-2\sin\delta=(4\cos^2\delta-1)\sin\delta\gt 0$ が成立するので， $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ において $2\delta\lt \beta\lt 3\delta$ が成り立ち，よって $3\delta\lt \alpha\lt 4\delta$ が成立する．

$3\delta$ が鋭角である，つまり $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ となることは余弦定理と中線定理を用いて示すことができます．

[別解]
$\mbox{AD}=x$ ， $\mbox{BD}=y$ とおくと $\angle\mbox{BAC}$ が鋭角となることから $1\lt \mbox{BC}=2y\lt \sqrt{5}$ が成立する．ここで中線定理により $5=2(x^2+y^2)$ であるから $\dfrac{\sqrt{5}}{2}\lt x\lt \dfrac{3}{2}$ となる．

余弦定理により $\cos\delta=\dfrac{4+x^2-y^2}{4x}$ $=\dfrac{3+4x^2}{8x}$ $=\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{8x}$
$\geqq 2\sqrt{\dfrac{3}{16}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるので $0\lt\delta\lt \dfrac{\pi}{6}$ が成立する．

$2\sin\delta-\sin 2\delta=2\sin\delta(1-\cos\delta)\gt 0$ であり， $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ から $\dfrac{1}{4}\lt \cos^2\delta\lt 1$ となるので $\sin 3\delta-2\sin\delta=(4\cos^2\delta-1)\sin\delta\gt 0$ が成立するので， $0\lt\delta\lt\dfrac{\pi}{6}$ において $\sin2\delta\lt 2\sin\delta=\sin(\alpha-\delta)\lt \sin 3\delta$ が成立し， $2\delta，\alpha-\delta，3\delta$ は鋭角であるから
$2\delta\lt \alpha-\delta\lt 3\delta$ が成り立ち，よって $3\delta\lt \alpha\lt 4\delta$ が成立する．