https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1966/Bunkei_new

2026.02.02.10:16:43記

[5] $f(x)=x^3-6x^2+8$ とし， $0 \leqq x \leqq r$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(r)$ とするとき，積分 $\displaystyle\int_0^5M(r)\,dr$ を求めよ．

2026.02.10.13:24:06記

[解答]
$y=f(x)$ （ $0\leqq x\leqq 5$ ）のグラフは $f(0)=8$ から $f(4)=-24$ まで単調減少，その後 $f(5)=-17$ まで単調増加である． $f(2)=-8$ であることに注意すると

$M(r)=\begin{cases} 8 & (0\leqq r\leqq 2) \\ -f(r) & (2\leqq r\leqq 4) \\ 24 & (4\leqq r\leqq 5)\end{cases}$

となる．よって
$\displaystyle\int_0^5M(r)\, dr$
$=16$ $+\displaystyle\int_2^4(-r^3+6r^2-8)\, dr$ $+24$
$=40+\left\{-(64-4)+2(64-8)-8(4-2)\right\}$ $=76$
となる．