https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[6] $1$ より大きいすべての $x$ の値に対して $\displaystyle\int_1^x(x-t)f(t)\,dt=x^4-2x^2+1$ が成立するように，整式 $f(t)$ を定めよ．

2026.01.26.18:48:59記
$f(x)$ を定めよではなく $f(t)$ を定めよなんですね．

[解答]
$F(x)=\displaystyle\int_1^x(x-t)f(t)\,dt-(x^4-2x^2+1)$ $=x\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt-\displaystyle\int_1^xtf(t)\,dt-x^4+2x^2-1$
が $1$ より大きいすべての $x$ の値に対して成立すれば良い．
$F'(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt+xf(x)-xf(x)-4x^3+4x$ $=\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt-4x^3+4x$ ，
$F''(x)=f(x)-12x^2+4$
であるから， $F'(1)=F(1)=0$ が成立し， $1$ より大きいすべての $x$ の値に対して $F''(x)=0$ が成立すれば良い．
$F(1)=x\cdot 0-0-1+2-1=0$ ， $F'(1)=0-4+4=0$ は確かに成立するので， $f(x)=12x^2-4$ であれば $1$ より大きいすべての $x$ の値に対して $F(x)=0$ となり題意が成立する．よって $f(t)=12t^2-4$ と定めれば良い．