https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[5] 「函数（関数） $f(x)$ の $x=a$ における微分係数」の定義をのべよ．
また，その定義にしたがって，次の二つの函数の $x=1$ における微分係数を求めよ．

(ア) $\dfrac{1}{x^3}$

(イ) $\sqrt{1+x+x^2}$

2026.01.26.18:31:49記

[解答]
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が存在するとき，その極限値を関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数という．

(ア) $\dfrac{1}{h}\cdot \left\{\dfrac{1}{(1+h)^3}-\dfrac{1}{1^3}\right\}=\dfrac{-(3+3h+h^2)}{(1+h)^3}$ により
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{-(3+3h+h^2)}{(1+h)^3}=-3$
である．

(イ) $\dfrac{\sqrt{1+(1+h)+(1+h)^2}-\sqrt{1+1+1}}{h}$ $=\dfrac{3+h}{\sqrt{3+3h+h^2}+\sqrt{3}}$ により
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{3+h}{\sqrt{3+3h+h^2}+\sqrt{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}$
である．