https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[4] 平面上で，角 $\mbox{XOY}$ 内に定点 $\mbox{A}$ がある．いま，二点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が同時に点 $\mbox{O}$ を出発して，同じ一定の速さで，それぞれ半直線 $\mbox{OX}$ ， $\mbox{OY}$ 上を進むものとする．出発後，しばらくして，この二点がそれぞれ $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{Q}_1$ にあるとき， $\angle \mbox{OAP}_1 = \angle \mbox{OAQ}_1$ であった．さらに，もっと進んで，二点がそれぞれ $\mbox{P}_2$ ， $\mbox{Q}_2$ にあるときも， $\angle \mbox{OAP}_2 = \angle \mbox{OAQ}_2$ であった．この場合，点 $\mbox{A}$ は角 $\mbox{XOY}$ の二等分線上にあることを証明せよ．

2026.01.26.18:11:21記
正弦定理から $\sin\angle\mbox{OAP}_1=\sin\angle\mbox{OAQ}_1$ ， $\sin\angle\mbox{OAP}_2=\sin\angle\mbox{OAQ}_2$ を導いたとしても，そこで手が止まってしまうでしょう．それは正弦が等しいからといって角度が等しいとは限らず，互いに補角（和が $\pi$ ）となる場合があるからです．例えば $60^{\circ}$ ， $20^{\circ}$ ， $100^{\circ}$ の三角形と $120^{\circ}$ ， $20^{\circ}$ ， $40^{\circ}$ の三角形は対応する二つの角度の正弦は等しいですが相似ではありません．しかし対応する三つの角度の正弦が等しいならば正弦定理から三辺の長さの比が等しくなることから相似となり，対応する角度が等しくなります．

[解答]
正弦定理から
$\dfrac{\mbox{OA}}{\sin\angle\mbox{AP}_1\mbox{O}}=\dfrac{\mbox{OP}_1}{\sin\angle\mbox{OAP}_1}$ $=\dfrac{\mbox{OQ}_1}{\sin\angle\mbox{OAQ}_1}$ $=\dfrac{\mbox{OA}}{\sin\angle\mbox{AQ}_1\mbox{O}}$
となるので $\sin\angle\mbox{AP}_1\mbox{O}=\sin\angle\mbox{AQ}_1\mbox{O}$ …① となり，同様に
$\sin\angle\mbox{AP}_2\mbox{O}=\sin\angle\mbox{AQ}_2\mbox{O}$ …② が成立する．ここで①は補角に関する条件 $\sin\angle\mbox{AP}_1\mbox{P}_2=\sin\angle\mbox{AQ}_1\mbox{Q}_2$ …③ と同値であり，②は $\sin\angle\mbox{AP}_2\mbox{P}_1=\sin\angle\mbox{AQ}_2\mbox{Q}_1$ …④ と同値である．

また， $\angle\mbox{AOP}$ は単調増加で $\angle \mbox{OAP}_1 = \angle \mbox{OAQ}_1$ ， $\angle \mbox{OAP}_2 = \angle \mbox{OAQ}_2$ が成立するので， $\angle\mbox{P}_1\mbox{AP}_2=\angle\mbox{Q}_1\mbox{AQ}_2$ となり，よって $\sin \angle\mbox{P}_1\mbox{AP}_2=\sin \angle\mbox{Q}_1\mbox{AQ}_2$ …⑤ となり，③④⑤から $\triangle\mbox{P}_1\mbox{AP}_2$ と $\triangle\mbox{Q}_1\mbox{AQ}_2$ は対応する角度の正弦が全て等しいので正弦定理から，対応する三辺の長さの比が等しくなり，よって相似であることがわかる．これと $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2$ から合同となることがわかる．よって $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2$ を底辺とみた高さ，つまり $\mbox{A}$ から半直線 $\mbox{OX}$ ，半直線 $\mbox{OY}$ への距離が等しいので， $\angle\mbox{AOX}=\angle\mbox{AOY}$ となり，点 $\mbox{A}$ は角 $\mbox{XOY}$ の二等分線上にある．

少しわかりにくい記述になっています，色々文字を設定すると加法定理が見えてきて簡単になります．正弦が等しいだけでは角度が等しいとは言えませんが，余弦も等しければ角度が等しくなります（余弦だけで良いのですが）．

[解答]
$\angle\mbox{AOP}_1=\alpha$ ， $\angle\mbox{AOQ}_1=\beta$ とおき， $\angle\mbox{OAP}_1=\angle\mbox{OAQ}_1=\theta_1$ ， $\angle\mbox{OAP}_2=\angle\mbox{OAQ}_2=\theta_2$ ， $\mbox{OA}=a$ ， $\mbox{OP}_1=\mbox{OQ}_2=p_1$ ， $\mbox{OP}_2=\mbox{OQ}_2=q_2$ とおくと，正弦定理から
$p_1\sin(\theta_1+\alpha)=a\sin\theta_1$ ， $p_2\sin(\theta_2+\alpha)=a\sin\theta_2$ ，
$p_1\sin(\theta_1+\beta)=a\sin\theta_1$ ， $p_2\sin(\theta_2+\beta)=a\sin\theta_2$
が成立する．

ここで連立方程式
$(\sin\theta_1) X+(\cos\theta_1)Y=\dfrac{a\sin\theta_1}{p_1}$ ，
$(\sin\theta_2) X+(\cos\theta_2)Y=\dfrac{a\sin\theta_2}{p_2}$ ，
の解は $\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2=\sin(\theta_1-\theta_2)\neq 0$
により，唯一であることに注意すると
$(\cos\alpha，\sin\alpha)=(\cos\beta，\sin\beta)$
となり，よって $\alpha=\beta$ となる．よって点 $\mbox{A}$ は角 $\mbox{XOY}$ の二等分線上にある．

角度が混乱するので線分の条件で考えようとするのが実は一番素直かも知れません．

[解答]
$\triangle\mbox{AOP}_1=\dfrac{1}{2}\mbox{AO}\cdot\mbox{AP}_1\sin\angle\mbox{OAP}_1$ ， $\triangle\mbox{AOQ}_1=\dfrac{1}{2}\mbox{AO}\cdot\mbox{AQ}_1\sin\angle\mbox{OAQ}_1$ により
$\triangle\mbox{AOP}_1:\triangle\mbox{AOQ}_1=\mbox{AP}_1:\mbox{AQ}_1$ …①，
$\triangle\mbox{AOP}_2:\triangle\mbox{AOQ}_2=\mbox{AP}_2:\mbox{AQ}_2$ …②
である．

また， $\mbox{OP}_1:\mbox{OP}_2=\mbox{OQ}_1:\mbox{OQ}_2$ から $\triangle\mbox{AOP}_1:\triangle\mbox{AOP}_2=\triangle\mbox{AOQ}_1:\triangle\mbox{AOQ}_2$ …③ である．よって①②③から $\mbox{AP}_1:\mbox{AQ}_1=\mbox{AP}_2:\mbox{AQ}_2$ …④ となる．

ここで $\angle\mbox{AOP}$ は単調増加で $\angle \mbox{OAP}_1 = \angle \mbox{OAQ}_1$ ， $\angle \mbox{OAP}_2 = \angle \mbox{OAQ}_2$ …⑤ が成立するので， ④⑤から $\triangle\mbox{P}_1\mbox{AP}_2$ と $\triangle\mbox{Q}_1\mbox{AQ}_2$ は相似となり， $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2$ とから合同となることがわかる．よって $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2$ を底辺とみた高さ，つまり $\mbox{A}$ から半直線 $\mbox{OX}$ ，半直線 $\mbox{OY}$ への距離が等しいので， $\angle\mbox{AOX}=\angle\mbox{AOY}$ となり，点 $\mbox{A}$ は角 $\mbox{XOY}$ の二等分線上にある．