https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/1965/Rikei

2026.01.21.23:04:08記

[3] $\alpha$ ， $\beta$ は， $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$ と $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ との間にある定角とする． $x$ がどんな角であっても，つねに
$\sin(x+\alpha)+\sin(x+\beta)=\sqrt{3}\sin x$
が成立した．このとき， $\alpha$ ， $\beta$ の値をもとめよ．

2026.01.26.15:52:54記

[解答]
$\sin(x+\alpha)+\sin(x+\beta)=\sqrt{3}\sin x$ が任意の実数 $x$ について成立するのであれば，これを $x$ で微分した
$\cos(x+\alpha)+\cos(x+\beta)=\sqrt{3}\cos x$ も任意の実数 $x$ について成立する．
よって
$\begin{pmatrix} \cos(x+\alpha) \\ \sin(x+\alpha) \end{pmatrix}$ $+\begin{pmatrix} \cos(x+\beta) \\ \sin(x+\beta) \end{pmatrix}$ $=\sqrt{3}\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}$
が成立する．ここでそれぞれのベクトルが単位ベクトルであることに注意すると
$\begin{pmatrix} \cos(x+\alpha) \\ \sin(x+\alpha) \end{pmatrix}$ と $+\begin{pmatrix} \cos(x+\beta) \\ \sin(x+\beta) \end{pmatrix}$ のなす角度は $\dfrac{\pi}{3}$ であり，そのなす角の二等分線方向に $\begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}$ があることがわかる．
よって $(\alpha，\beta)$ $=\left(\pm\dfrac{\pi}{6}，\mp\dfrac{\pi}{6}\right)$ （複号同順）となる．